Converger a un número: ¿un único sentido?

Para estudiar una serie numérica, partimos de una sucesión (*u_n)_n*_≥0 de números (reales o complejos). La sucesión converge hacia un límite L si, para todo número ε, por pequeño que sea, existe un índice N a partir del cual la diferencia |*u_n – L| es menor que ε.*

De la sucesión a la serie convergente ----------------------------------

Para estudiar la convergencia de una serie se aplica el mismo principio. Se define la sucesión de sumas parciales ${\text{S}}_n={\sum }_{k=0}^n{u}_k\backslash text\{S\}\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; u\_k$ y se comprueba si converge a un límite S que, si existe, es precisamente la suma de la serie.

Una condición necesaria para la convergencia de la serie Σ *u_n es que el término general u_n tienda a 0, pero la condición no es suficiente. El ejemplo más clásico es el de la serie armónica Σ 1/n*, que diverge, pues sus sumas parciales tienden a infinito.

Sin embargo, puede ocurrir que una serie de términos positivos diverja, pero que una serie formada por los mismos términos, precedidos de signos distintos (+ y –), pueda converger. Es, por ejemplo, el caso de las series alternadas (los signos + y – se alternan y los valores absolutos de sus términos decrecen). Para tales sucesiones, cuando el término general *u_n tiende a 0, aunque la serie Σ u_n diverja, la serie alternada Σ (‒1)ⁿu_n converge. La más conocida es la serie armónica alternada Σ (‒1)ⁿ/n*, de la que se hablará mucho en este dossier.