Somme senza fine

Prendiamo una torta e prepariamoci a tagliarla. La dividiamo dapprima in due parti uguali, mettiamo da parte una delle due metà ottenute e tagliamo l’altra, di nuovo in due parti uguali. Ancora una volta ne mettiamo una da parte e dividiamo l’altra in 2. Nel complesso, le parti messe da parte rappresentano la somma $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8},\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{4\}+\backslash frac\{1\}\{8\}=\backslash frac\{7\}\{8\},$ e resta una parte che rappresenta $\frac{1}{8}\backslash frac\{1\}\{8\}$ per completare la torta.

Tagliare senza briciole ---------------------

Supponiamo che questa torta non produca briciole e che la si possa dividere quanto si vuole, tagliando ogni volta a metà la parte che resta e mettendone una da parte.

Dopo n divisioni, il pezzo rimanente rappresenterà $\frac{1}{2^n}\backslash frac\{1\}\{2^n\}$ della torta, che si può scrivere nella forma $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots +\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}\mathrm{.}\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{4\}+\backslash frac\{1\}\{8\}+\backslash cdots+\backslash frac\{1\}\{2^n\}=1-\backslash frac\{1\}\{2^n\}.$