Quand les fractions continuent
Elles continuent, les fractions ! Fondamentalement cantonnées à l’ensemble des nombres rationnels, elles parviennent pourtant à s’en échapper lorsqu’on les laisse poursuivre à l’infini. En la matière, il existe de multiples façons de faire. L’une d’elles consiste à en ajouter encore et encore, pour s’approcher le plus en plus de nombres irrationnels comme π. Une seconde possibilité consiste à disposer les fractions dans un arbre binaire pour les obtenir toutes. Enfin, procédé majeur, des techniques algébriques ou arithmétiques permettent de constituer des fractions de fractions, qui se poursuivent à l’infini et définissent ainsi les fractions… continues.
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Frazioni nel tempio degli interi?
Come indica il nome, l’Enciclopedia online delle successioni di numeri interi di Neil Sloane contiene soltanto numeri interi. Eppure, esiste un modo per introdurvi le frazioni per una via indiretta…
Somme senza fine
La somma di più frazioni dà sempre una frazione. Ma se l’addizione prosegue all’infinito, le cose cambiano radicalmente. Scelte con cura, somme di questo tipo permettono di approssimare numeri come π e portano a molti risultati appassionanti e inattesi.
Frazioni di frazioni senza freni
Un modo semplicissimo di costruire una successione di frazioni può portare a strumenti sorprendentemente profondi. Eccone un esempio, che conduce alla celebre successione di Prouhet-Thue-Morse dalle molteplici applicazioni.
Dai denominatori all’infinito
Una pila di frazioni che non finisce mai: le frazioni continue furono studiate dai più grandi matematici, tra cui Eulero, Lagrange e Galois. Alla scoperta di queste frazioni dai denominatori sorprendenti.
Genealogia delle frazioni
Una splendida costruzione dovuta a Calkin e Wilf, già intuita un secolo prima, permette di elencare tutte le frazioni in modo elegante e al tempo stesso profondo. In questa costruzione, ogni frazione ne genera due nuove, a partire dalla frazione 1 / 1.