Una pila di frazioni che non finisce mai: le frazioni continue furono studiate dai più grandi matematici, tra cui Eulero, Lagrange e Galois. Alla scoperta di queste frazioni dai denominatori sorprendenti.
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È possibile scrivere i numeri reali indipendentemente dalla scelta arbitraria di una base. L’algoritmo di Euclide fornisce un metodo che si estende a tutti i reali e conduce alla nozione di frazione continua. Con questo formalismo, il numero d’oro diventa l’irrazionale più semplice da scrivere!
Poiché π è per definizione il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, sarebbe comodo se fosse una frazione razionale, ossia il quoziente di due numeri interi. Purtroppo non è così! Peggio ancora, diranno alcuni, è addirittura trascendente…
Esistono altri modi di rappresentare i numeri reali oltre alla scrittura decimale! Uno dei più noti consiste nello scrivere un numero sotto forma di frazione continua. Le rappresentazioni così ottenute, anche se troncate, forniscono molto rapidamente «buone» approssimazioni del numero di partenza.
Tra i numeri irrazionali, i numeri trascendenti non sono radici di alcuna equazione polinomiale a coefficienti interi. Sembrano numeri che oltrepassano il senso comune, da cui il loro nome. Cantor dimostrò che costituiscono l’immensa maggioranza dei numeri reali, senza tuttavia indicarne neppure uno!
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