Una pila di frazioni che non finisce mai: le frazioni continue furono studiate dai più grandi matematici, tra cui Eulero, Lagrange e Galois. Alla scoperta di queste frazioni dai denominatori sorprendenti.
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È possibile scrivere i numeri reali indipendentemente dalla scelta arbitraria di una base. L’algoritmo di Euclide fornisce un metodo che si estende a tutti i reali e conduce alla nozione di frazione continua. Con questo formalismo, il numero d’oro diventa l’irrazionale più semplice da scrivere!
Poiché π è per definizione il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, sarebbe comodo se fosse una frazione razionale, ossia il quoziente di due numeri interi. Purtroppo non è così! Peggio ancora, diranno alcuni, è addirittura trascendente…
Sono noti due metodi per dimostrare l’impossibilità di risolvere l’equazione algebrica generale di quinto grado: quello proposto da Abel nel 1824, precisato nel 1826, e quello di Galois nel 1829–1830. La teoria di Galois è abbastanza nota, mentre le idee di Abel sono illustrate più di rado.
Tra i numeri irrazionali, i numeri trascendenti non sono radici di alcuna equazione polinomiale a coefficienti interi. Sembrano numeri che oltrepassano il senso comune, da cui il loro nome. Cantor dimostrò che costituiscono l’immensa maggioranza dei numeri reali, senza tuttavia indicarne neppure uno!
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