Apilamientos de fracciones que nunca terminan: las fracciones continuas han sido estudiadas por los más grandes matemáticos, entre ellos Euler, Lagrange y también Galois. Nos adentramos en estas fracciones con denominadores extraños.
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Es posible escribir los números reales con independencia de la elección arbitraria de una base. El algoritmo de Euclides proporciona un método para ello, que se extiende a todos los reales y conduce a la noción de fracción continua. Con este formalismo, ¡el número áureo se convierte en el irracional más sencillo de escribir!
Dado que π es, por definición, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, sería cómodo que fuera una fracción racional, es decir, el cociente de dos números enteros. Por desgracia, ¡no es así! Peor aún, dirán algunos: incluso es trascendente…
Se conocen dos métodos para demostrar la imposibilidad de resolver la ecuación algebraica general de quinto grado: el que Abel presentó en 1824 y precisó en 1826, y el de Galois en 1829–1830. La teoría de Galois es bastante conocida, mientras que las ideas de Abel se exponen con menos frecuencia.
Entre los números irracionales, los números trascendentes no son raíces de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Parecen números que escapan al sentido común, de ahí su nombre. Cantor demostró que constituyen una inmensa mayoría entre los números reales, ¡sin llegar a señalar ni uno solo!
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