Cuando las fracciones continuas
¡Continúan, las fracciones! Fundamentalmente limitadas al conjunto de los números racionales, logran sin embargo escapar de él cuando se las deja proseguir hasta el infinito. En este sentido, existen múltiples formas de hacerlo. Una de ellas consiste en agregar una y otra vez, para acercarse cada vez más a números irracionales como π. Una segunda posibilidad consiste en disponer las fracciones en un árbol binario para obtenerlas todas. Finalmente, proceso principal, técnicas algebraicas o aritméticas permiten constituir fracciones de fracciones, que se prosiguen hasta el infinito y definen así las fracciones… continuas.
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¿Fracciones en el templo de los enteros?
Como indica su nombre, la Enciclopedia en línea de sucesiones de números enteros de Neil Sloane solo contiene enteros. Sin embargo, hay una forma indirecta de introducir fracciones en ella…
Sumas sin fin
Sumar varias fracciones siempre da como resultado una fracción. Pero si la suma prosigue hasta el infinito, las cosas son muy distintas. Bien elegidas, tales sumas permiten aproximar números como π y aportan multitud de resultados apasionantes e inesperados.
Fracciones de fracciones sin freno
Una forma muy sencilla de construir una sucesión de fracciones puede dar lugar a herramientas sorprendentemente profundas. He aquí un ejemplo que conduce a la célebre sucesión de Prouhet-Thue-Morse, con múltiples aplicaciones.
Denominadores hasta el infinito
Apilamientos de fracciones que nunca terminan: las fracciones continuas han sido estudiadas por los más grandes matemáticos, entre ellos Euler, Lagrange y también Galois. Nos adentramos en estas fracciones con denominadores extraños.
Genealogía de las fracciones
Una bellísima construcción debida a Calkin y Wilf, ya vislumbrada un siglo antes, permite enumerar todas las fracciones de una manera a la vez elegante y profunda. En esta construcción, cada fracción da lugar a dos nuevas, partiendo de la fracción 1 / 1.