Sumas sin fin

Tomemos una tarta y preparémonos para cortarla. Primero la dividimos en dos partes iguales, apartamos una de las dos mitades obtenidas y volvemos a dividir la otra en dos partes iguales. De nuevo apartamos una y dividimos la otra en 2. En conjunto, las partes apartadas representan la suma $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8},\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{4\}+\backslash frac\{1\}\{8\}=\backslash frac\{7\}\{8\},$ y queda una parte que representa $\frac{1}{8}\backslash frac\{1\}\{8\}$ para completar la tarta.

Cortar sin dejar migas ----------------------

Supongamos que esta tarta no deja ninguna miga y que podemos dividirla cuanto queramos, cortando cada vez la parte que nos queda en dos partes iguales y apartando una de ellas.

Tras n divisiones, el trozo restante representará $\frac{1}{2^n}\backslash frac\{1\}\{2^n\}$ de la tarta, lo que podemos escribir como $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots +\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}\mathrm{.}\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{4\}+\backslash frac\{1\}\{8\}+\backslash cdots+\backslash frac\{1\}\{2^n\}=1-\backslash frac\{1\}\{2^n\}.$