Consideremos los números 1, después 1+ 1/2, después 1 + (1/2) + (1/3), después 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4), y así sucesivamente. Se llaman números armónicos y se denotan por Hn. Así, H1 = 1, después H2 = 3/2, después H3 = 11/6, etc.
Por supuesto, los términos de la sucesión aumentan, en virtud de la relación Hn+1 = Hn + 1/(n + 1). Sin embargo, el crecimiento no es rápido, como ilustra la lista contigua, que da la parte entera de algunos números armónicos. (En cada caso, el n es el menor posible para el que Hn supera el entero indicado.) Como se ve, hay que llegar hasta H4 para superar 2, hasta H11 para superar 3, hasta H31 para superar 4… ¡y hasta H40 427 833 596 para superar 25!
| n | parte entera de *Hn* |
|---|---|
| 4 | 2 |
| 11 | 3 |
| 31 | 4 |
| 83 | 5 |
| 227 | 6 |
| 616 | 7 |
| 1 674 | 8 |
| 4 550 | 9 |
| 12 367 | 10 |
| 1 835 421 | 15 |
| 272 400 600 | 20 |
| 40 427 833 596 | 25 |
Hasta el infinito
Aunque los números armónicos no tienen prisa, aun así tienden al infinito. La primera demostración de este resultado, probablemente la más conocida, data del siglo 14.º (véase el recuadro).
