Si cuatro bolígrafos cuestan 2,42 €, ¿cuánto cuestan catorce bolígrafos? Esta pregunta procede de un programa de televisión en el que se quiso poner a prueba al entonces ministro de Educación Nacional. Este tuvo que reconocer que no sabía responder… La solución propuesta por la presentadora consistía primero en «volver a la unidad», calculando que un bolígrafo cuesta 2,42 / 4 = 0,605 €, y después multiplicar por 14 para obtener la respuesta: 8,47 €. Es una aplicación de la célebre regla de tres, que se basa en el principio de las magnitudes proporcionales. El venerable manual escolar de tercero de secundaria de Monge y Guinchan, de 1959, las define así: «dos magnitudes son proporcionales si, al multiplicar (o dividir) la medida de una de ellas por 2, 3, 4, …, la medida correspondiente de la otra se multiplica (o divide) por 2, 3, 4, …». En nuestro problema, las magnitudes proporcionales consideradas son, por una parte, el número de bolígrafos y, por otra, el precio total. Euclides lo expresaba de un modo algo distinto: las razones entre dos medidas de una misma magnitud son iguales a las razones entre las medidas correspondientes de la otra. Tales razones son números sin dimensión.
Con las funciones lineales ----------------------------
Una situación de proporcionalidad pone en correspondencia una magnitud con otra: desde el 17.º siglo, una correspondencia de este tipo se concibe como una función de una variable; más concretamente, como una función que multiplica por una constante, el coeficiente de proporcionalidad. Así, si x es el número de bolígrafos, la función f definida por f (x) = 0,605x da el precio de esos x bolígrafos. Otra propiedad resulta evidente: a la suma de los valores de la primera magnitud —los bolígrafos— le corresponde la suma de los valores asociados —los precios—.
Podemos hacer una representación gráfica situando el número de bolígrafos en el eje de abscisas y el precio en el de ordenadas, y obtenemos un conjunto de puntos alineados sobre una semirrecta que pasa por el origen.