Fractions

Para hablar de fracciones, a menudo empezamos evocando la idea de reparto equitativo. Sin embargo, incluso ciñéndonos a su definición habitual, este enfoque no hace justicia a la riqueza y variedad de usos que se les puede dar, que van desde la definición de nuestras notas musicales hasta el manejo de los engranajes. Por su parte, el teorema de Tales hace que la geometría también sea muy partidaria de fracciones. Las fracciones egipcias, es decir, aquellas de numerador 1, parecen haber sido las primeras en ser consideradas. Su nombre por sí solo indica que su edad se cuenta en milenios, y tal vez debamos explicarlo por el hecho de que, en cierto modo, un tercio, un cuarto, un quinto, y más generalmente un enésimo son las fracciones primeras, de las que todas las demás se deducen por simple multiplicación por un entero.

Una tendencia frecuente respecto al valor 1/2 es querer a toda costa escribirlo en la forma 0,5. El valor 1/3, cuya expresión decimal no tiene fin (0,333…), ofrece sin embargo un ejemplo sencillo de la superioridad de la notación fraccionaria sobre la notación decimal, al menos en un contexto matemático. El desarrollo decimal no ha dicho sin embargo su última palabra, ya que el de una fracción es siempre periódico, por lo que también se expresa en una forma finita, aunque sea a su manera. Por otra parte, existe un vasto conjunto de números, como √2 o π, que no se pueden expresar en la forma a/b (con a y b enteros). A pesar de este fracaso para representar todos los reales, las fracciones siguen siendo una herramienta crucial para explorar el concepto fundamental de proporcionalidad, en el que se entrelazan nociones matemáticas y pedagogía escolar.

¡Continúan, las fracciones! Fundamentalmente limitadas al conjunto de los números racionales, logran sin embargo escapar de él cuando se las deja proseguir hasta el infinito. En este sentido, existen múltiples formas de hacerlo. Una de ellas consiste en agregar una y otra vez, para acercarse cada vez más a números irracionales como π. Una segunda posibilidad consiste en disponer las fracciones en un árbol binario para obtenerlas todas. Finalmente, proceso principal, técnicas algebraicas o aritméticas permiten constituir fracciones de fracciones, que se prosiguen hasta el infinito y definen así las fracciones… continuas.