Fracciones para observar
Una tendencia frecuente respecto al valor 1/2 es querer a toda costa escribirlo en la forma 0,5. El valor 1/3, cuya expresión decimal no tiene fin (0,333…), ofrece sin embargo un ejemplo sencillo de la superioridad de la notación fraccionaria sobre la notación decimal, al menos en un contexto matemático. El desarrollo decimal no ha dicho sin embargo su última palabra, ya que el de una fracción es siempre periódico, por lo que también se expresa en una forma finita, aunque sea a su manera. Por otra parte, existe un vasto conjunto de números, como √2 o π, que no se pueden expresar en la forma a/b (con a y b enteros). A pesar de este fracaso para representar todos los reales, las fracciones siguen siendo una herramienta crucial para explorar el concepto fundamental de proporcionalidad, en el que se entrelazan nociones matemáticas y pedagogía escolar.
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La proporcionalidad: tan crucial, tan difícil
La proporcionalidad interviene en los problemas de multiplicación, división y su combinación. De aprendizaje difícil, cuestiona la enseñanza y ha dado lugar a numerosos trabajos de didáctica de las matemáticas.
Ante los desarrollos decimales
Como cualquier número real, por ejemplo el número pi, una fracción puede escribirse mediante un desarrollo decimal, finito o infinito. Una propiedad notable es que la escritura decimal obtenida acaba siendo siempre periódica.
El fracaso de las fracciones
¡No se puede hacer todo con fracciones! La existencia de números irracionales obliga a admitir que la noción de número es más amplia que la que proporciona la división de dos números enteros. El resultado: un mundo nuevo por explorar, que depara muchas sorpresas.
Al infinito sin prisas
Los números armónicos forman una sucesión que tiende al infinito, pero muy lentamente. Eso no impide que intervengan en varios problemas importantes.