Se quattro penne costano 2,42 €, quanto costano quattordici penne? Questa domanda è tratta da una trasmissione televisiva in cui si era voluto mettere alla prova il ministro dell’Istruzione dell’epoca. Questi dovette ammettere di non saper rispondere… La soluzione proposta dalla conduttrice consisteva anzitutto nel «ricondursi all’unità», calcolando che una singola penna costa 2,42 / 4 = 0,605 €, per poi moltiplicare per 14 e ottenere la risposta: 8,47 €. È un’applicazione della celebre regola del tre, fondata sul principio delle grandezze proporzionali. Il venerabile manuale scolastico per la terza media di Monge e Guinchan del 1959 le definisce così: «due grandezze sono proporzionali se, moltiplicando (o dividendo) la misura dell’una per 2, 3, 4, …, la misura corrispondente dell’altra viene moltiplicata (o divisa) per 2, 3, 4, …». Nel nostro problema, le grandezze proporzionali considerate sono da un lato il numero di penne, dall’altro il prezzo totale. Euclide lo diceva in modo leggermente diverso: i rapporti tra due misure di una stessa grandezza sono uguali ai rapporti tra le misure corrispondenti dell’altra. Rapporti di questo tipo sono numeri senza unità di misura.
Con le funzioni lineari ----------------------------
Una situazione di proporzionalità mette in corrispondenza una grandezza con un’altra: dal 17º secolo, una corrispondenza di questo tipo viene considerata come una funzione di una variabile, più precisamente una funzione che moltiplica per una costante, il coefficiente di proporzionalità. Così, se x è il numero di penne, la funzione f definita da f (x) = 0,605x fornisce il prezzo di queste x penne. Un’altra proprietà è evidente: alla somma dei valori della prima grandezza (le penne) corrisponde la somma dei valori associati (i prezzi).
Si può tracciare una rappresentazione grafica riportando il numero di penne sull’asse delle ascisse e il prezzo su quello delle ordinate, ottenendo un insieme di punti allineati lungo una (semi)retta passante per l’origine.