Éric Trouillot: il calcolo mentale, strada verso la gioia | Tangente

Tangente: In che modo la ginnastica del calcolo mentale può aiutare l’apprendimento della matematica?**

Éric Trouillot: La dimestichezza con il calcolo mentale è il rapporto intimo che ciascuno di noi intreccia con i numeri e le operazioni. Ne abbiamo tutti bisogno ogni giorno. Intuizione, ordini di grandezza, legami tra i numeri… il repertorio mentale di una persona è un po’ la cassetta degli attrezzi numerici di cui dispone per risolvere problemi comuni. Dal punto di vista dell’insegnamento, numeri e operazioni sono onnipresenti nella risoluzione dei problemi sia alla scuola primaria sia nella scuola secondaria di primo grado, e solo a partire dalla scuola superiore la matematica si emancipa gradualmente dai numeri. Di recente, in occasione del salone Culture et jeux mathématiques di Parigi, uno studente dell’École normale supérieure mi ha raccontato che, avendo trascorso gli anni della scuola primaria e secondaria di primo grado appassionandosi ai giochi matematici, lavorando sugli enigmi del concorso Kangourou o giocando a Mathador, aveva l’impressione che tutto questo gli avesse forgiato una particolare rete neurale per gli studi di alto livello. Dopo essersi nutrito di giochi matematici e numerici, giunse a occuparsi di matematica del tutto astratta, senza un solo numero!

Con l’arrivo delle calcolatrici negli anni Settanta, tutti pensammo, comprese le istituzioni dell’Éducation nationale, che ci avrebbero liberato dall’insegnamento del calcolo e, in particolare, del calcolo mentale. Era anche l’epoca della rivoluzione delle «matematiche moderne», che mirava a riformare l’insegnamento. Nella mentalità del tempo, buona parte della geometria e del calcolo mentale era considerata polverosa. Questi scomparvero dunque dai radar per diversi decenni. Per gli insegnanti, ciò mise la maggior parte dei maestri e dei professori di matematica in una situazione molto difficile. Per gli studenti, il risultato fu una perdita di senso nel campo dei numeri e delle operazioni, dalla quale non ci siamo del tutto ripresi.

Alla fine si è compreso il carattere essenziale del calcolo mentale nell’apprendimento o, più precisamente, l’importanza di interiorizzare il rapporto con i numeri e le operazioni. Questa interiorizzazione è essenziale per gettare le basi del rapporto con la matematica. Come può uno studente della primaria o della secondaria di primo grado sperare di risolvere un problema senza disporre di un minimo di fluidità mentale e dimestichezza con i numeri? Per fare lavori manuali, con soltanto un cacciavite e una chiave da dieci non si va lontano!

Molti studenti e adulti sono stati plasmati da questo modo di lavorare: si scrivono accuratamente i numeri in un certo modo, si tracciano linee, si allineano i riporti e, alla fine, si ottiene il risultato se si è applicato con cura il metodo. Questa vecchia cultura, che vede nel calcolo in colonna il graal del calcolo, non incoraggia a usare il cervello per eseguire l’operazione a mente.

Dopo essere stato a lungo di grande utilità sociale, il calcolo in colonna è ormai sostituito dalla calcolatrice, ma il risultato per il calcolo mentale è lo stesso. Insistendo troppo e troppo presto sulle tecniche scritte di calcolo, si impedisce a molti di accedere davvero all’universo dei numeri e delle operazioni, svuotandoli di senso con operazioni da eseguire sulle cifre che non consentono di cogliere la globalità di un numero.

Se ho fretta e voglio soltanto un ordine di grandezza, calcolo 60 × 20, ottenendo molto rapidamente 1 200. Se invece punto a un risultato esatto, la proprietà distributiva, applicata per raggruppamenti, è spesso efficace: prendo dieci gruppi da 59, che fanno 590, raddoppio per arrivare a venti gruppi (risultato: 1 180) e aggiungo ancora 59 per ottenere il risultato: 1 239. Questo tipo di pratica instaura un vero rapporto con i numeri e genera fiducia. Con il tempo, questa dimestichezza può trasformarsi in gioia.

Ciò che conta è mettere sempre bene in evidenza il ragionamento, cioè le proprietà dei numeri e delle operazioni che permettono di portare a termine il calcolo. Sarebbe un errore valorizzare sistematicamente solo la rapidità o il risultato: ciò che conta anzitutto è il percorso. In questo modo, gli automatismi acquisiti con una pratica regolare non sono riflessi sorti dal nulla, ma il naturale prolungamento di una vera acquisizione di conoscenze.

La cosa più importante per gli anni a venire sarà cominciare dalla cultura mentale, ricollocando il calcolo scritto nel prolungamento di questa interiorizzazione. Certo, bisogna conoscere alcune tecniche operative, ma occorre riconoscere che non ne abbiamo più tanto bisogno quanto un tempo. Bisogna anche capire che queste tecniche non sono il prolungamento del calcolo mentale: i due mondi sono persino in parte antagonisti! In un certo senso, lo esprime la stessa associazione delle parole «calcolo» e «mentale». Il calcolo mentale ha infatti una propria didattica, che porta per esempio a considerare i numeri da sinistra a destra, rispettando così il nostro rapporto naturale con essi, e non da destra a sinistra come si usa nelle tecniche operative scritte.

Il trittico dell’insegnamento del calcolo mentale/in colonna/strumentale deve lasciare il posto al dittico sociale ormai in atto: mentale/strumentale. Ciò avverrà attraverso una didattica del calcolo mentale nell’insegnamento. I nuovi programmi del 2025 vanno in questa direzione spostando l’ago della bilancia: molto meno calcolo in colonna (troppo dispendioso in termini di tempo e poco produttivo di senso), più calcolo mentale ragionato.

Quel periodo traduceva una ricerca troppo rapida dell’astrazione, con una visione riduttiva di un’intera dimensione tattile, associata anche alle prove e ai tentativi. Il trittico manipolare/verbalizzare/astrarre, oggi in voga, è molto più in sintonia con l’approccio più naturale alla matematica, che consiste nel cominciare osservando, provando, manipolando e ponendosi domande per eventualmente modellizzare, essendo l’astrazione lo stadio ultimo. Penso che questo approccio si applichi esattamente nello stesso modo ai numeri e alle operazioni. L’automatizzazione dovrebbe sempre essere il prolungamento di tutte queste fasi intermedie, nelle quali il senso si costruisce e poi si consolida. Il neuroscienziato Stanislas Dehaene spiega bene che il cervello è un organo che prova e procede per tentativi continuamente. L’idea della soluzione esperta posta a priori è una sciocchezza se non è il prolungamento ragionato di prove e confronti tra approcci diversi – esattamente come nel calcolo mentale.

L’abaco, usato in molti paesi nell’insegnamento del calcolo, consente un rapporto tattile con i numeri che certamente facilita la costruzione di automatismi. È inoltre affascinante assistere alle finali di concorsi di calcolo mentale in questi paesi (si veda l’articolo «La pensée du boulier“), dove gli studenti muovono le dita nel vuoto come se il loro abaco fosse lì: l’automatizzazione si prolunga fino alla punta delle unghie! La velocità di esecuzione dei calcoli è vertiginosa, quasi soprannaturale.