Ovviamente qui non chiederemo un criterio di divisibilità per zero: non si divide per zero, è il tabù assoluto. Non ci interesseremo neppure della divisione per uno, perché in quel caso, al contrario, è troppo facile e sempre possibile.
I primi criteri di divisibilità davvero importanti sono quelli per 2, 5 e 10. Hanno in comune il fatto di usare soltanto la cifra delle unità: se la cifra delle unità di un numero n è 0, 2, 4, 6 oppure 8, allora n è pari (cioè divisibile per 2), e viceversa. Se questa stessa cifra è 0 oppure 5, allora è multipla di 5, e viceversa. Dunque n è multiplo di 10 se e solo se la sua cifra delle unità è 0. Ecco risolti i criteri elementari.
Poco meno semplice è il caso della divisibilità per d = 2 *k, 5 k oppure 10 k: per questi valori di d, un numero n è divisibile per d se e solo se le sue ultime k cifre formano un numero divisibile per d*.
Anche i criteri di divisibilità per 3 o per 9 sono celebri: n è multiplo di 3 (o di 9) se e solo se lo è anche la somma s delle sue cifre. Applicando all’occorrenza lo stesso criterio a s e ripetendo l’operazione se necessario, si arriva infine a un numero abbastanza piccolo da poter decidere. In realtà, il criterio è ancora più preciso: il resto della divisione di n per 3 (o per 9) è lo stesso di quello della divisione di s per 3 (o per 9).
Meno noto è il criterio di divisibilità per 11, che sarà dimostrato più avanti: n è divisibile per 11 se e solo se la somma alternata s delle sue cifre è divisibile per 11. Così, per n = 1244245, si ha s = 1 − 2 + 4 − 4 + 2 − 4 + 5 = 2, dunque n non è multiplo di 11. (Si può persino dire che il resto della sua divisione euclidea per 11 è uguale a 2.)
