Il calcolo mentale richiede spesso una buona dose di opportunismo. Prendiamo 51 × 49. Per trovare facilmente il risultato, possiamo osservare che 51 = 50 + 1 e che 49 = 50 – 1, e quindi usare un’identità notevole: (50 + 1)(50 – 1) = 50 2 – 12, decisamente più facile da calcolare. (Si ottiene 2 500 – 1 = 2 499.)
Il trucco si estende senza difficoltà a qualsiasi prodotto fra due numeri interi a e b la cui differenza a – b è un numero pari (anche se è possibile un adattamento per i numeri dispari): indicando con m la media dei due numeri (ossia m = (a + b)/2) e con d la loro semidifferenza (ossia d = (a – b)/2) , si ha a × b = (m + d )(m – d ) = m 2 – d 2.
Se, come nell’esempio precedente, m2 ha il buon gusto di essere facile da calcolare e d non è troppo grande, possiamo dapprima prendere m2 come prima approssimazione, per poi affinare il risultato sottraendo d 2. Per esempio, per 64 × 56 diremo « aspettate… è un pochino meno di 3 600… » mentre eseguiamo mentalmente l’operazione 3 600 – 16 = 3 584.
La testa piena di quadrati
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Come suggerisce il trucco qui sopra, i quadrati perfetti sono tra le prime cose da imparare per il calcolo mentale, dopo le tabelline. Per esempio, conoscere il valore di 632 apre la strada, attraverso un’identità notevole, al calcolo rapido dei prodotti della forma (63 + b)(63 − b). Ma se la nostra memoria non arriva fin lì, come possiamo trovare il quadrato di un numero come 63?
Un metodo ben adatto ai numeri di due cifre, cioè della forma
n = 10a + b, dove a e b sono numeri interi compresi fra 0 e 9, si basa sulla seguente relazione algebrica, facile da verificare:
(10a + b)2 = (10a + 2b) × a × 10 + b2, che conviene scrivere come n2 = (n + b) × a × 10 + b2.
In pratica, per calcolare 632, eseguiamo dunque 632 = (63 + 3) × 6 × 10 + 32. In termini di moltiplicazioni, quest’ultimo calcolo richiede soltanto una moltiplicazione per un numero di una cifra (6, poiché quella per 10 è banale, e il quadrato di b è facile da trovare dato che b ha una sola cifra).
Il trucco funziona in tutti i casi (e può adattarsi a numeri con più cifre), ma quando la cifra delle unità è maggiore di 5 lo si può migliorare un poco usando invece l’uguaglianza n2 = (n – b' ) × (a + 1) × 10 + b' 2, dove b' = 10 − b.
Il metodo Trachtenberg
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Jakow Trachtenberg fu un ingegnere ebreo, internato più volte nei campi di concentramento durante la Seconda guerra mondiale. Per passare il tempo, vi inventò un metodo di calcolo mentale per le moltiplicazioni. Poiché ciascuna moltiplicazione (per 3, per 4 ecc.) ha una regola specifica, vediamo qui il caso della moltiplicazione di un numero n per 7. Si comincia aggiungendo uno 0 a sinistra della scrittura decimale di n, poi si applica la regola: «raddoppiare ogni cifra, aggiungervi 5 se è dispari e aggiungere la metà della cifra vicina alla sua destra nel numero di partenza (arrotondando per difetto, se necessario)». Vediamo l’esempio della moltiplicazione per 7 di 294, che dunque scriviamo anzitutto 0 294. Cominciamo raddoppiando il 4, ottenendo 8 come cifra delle unità (non c’è alcuna cifra alla sua destra). Raddoppiamo poi il 9 e aggiungiamo 5 (poiché 9 è dispari), quindi aggiungiamo 4/2 = 2, ottenendo 25: la cifra delle decine è dunque 5 (il 2 costituisce un riporto). Eseguiamo poi 2 × 2 + [9/2] + 2 (quest’ultimo 2 è il nostro riporto), che dà 10: la cifra delle centinaia è dunque 0 (con riporto 1). Infine applichiamo lo stesso procedimento allo 0, ottenendo 0 × 2 + 2/2 + 1 = 2, quindi la cifra delle migliaia è 2. Si ottiene così 294 × 7 = 2 058.
