Tutto comincia dalla cifra 1. Decidiamo di costruire una successione raddoppiando, a ogni passaggio, l’ultimo numero ottenuto: troviamo 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024, 2 048, 4 096, 8 192, 16 384, 32 768, 65 536…, ossia la successione delle potenze di 2. Un classico!
Introduciamo ora una «regola di interruzione» in questo processo: la successione si arresta non appena un termine contiene almeno una cifra ripetuta. È il caso di 65 536, che contiene due «5» (e anche due «6»). La successione si interrompe di colpo. Fissiamo una «regola di ripresa»: la successione riparte dal numero ottenuto cancellando dall’ultimo termine (qui 65 536) tutte le cifre che compaiono più volte. Si prosegue quindi con 3 e la successione diventa allora 65 536, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1 536, 3 072, 6 144 (interruzione), 61 (ripresa), 122 (interruzione), 1 (ripresa), termine che ci riporta all’inizio della procedura.
Uscire dai cicli ----------------------
Questo genere di ciclo è divertente e solleva già qualche questione aritmetica (come caratterizzare le successioni che entrano in un ciclo? qual è la lunghezza media di una successione ciclica?). Ma il modo più elementare per sfuggire ai cicli consiste nell’introdurre un’altra regola di ripresa: dopo un’interruzione, decidiamo di far ripartire la successione dal più piccolo termine assente dalla successione. Così, dopo 65 536 viene 3 (poiché 1 e 2 figurano già nella successione), poi 6 144, come prima, ma anziché proseguire con 61 continueremo con 5, che a questo punto è il più piccolo termine assente dalla successione). Si ottiene 6 144, 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1 280, 2 560, 5 120, 10 240 (interruzione a causa dei due «0»), 7 (il più piccolo intero che non figura nella successione), 14, 28, 56, 112 (interruzione), 9 (ripresa), 18… Siamo certi di non entrare in un ciclo, a patto di accettare che il termine che rilancia la successione possa contenere a sua volta cifre ripetute. In questo modo verranno visitati tutti i numeri naturali, almeno una volta.
Definite in omaggio allo statunitense Stephen Wolfram, le regole di Marflow (palindromo di «Wolfram») si applicano a ogni successione definita in modo moltiplicativo: si decide di interromperla quando compare (nel risultato dell’ultima moltiplicazione) una cifra ben precisa. Così la successione M173 (cfr. ****) comincia con 1, procede moltiplicando ogni volta il suo ultimo termine per 7 e si interrompe non appena compare un 3 (da cui il nome). Anche qui la regola di ripresa consiste nel prolungare la successione con il più piccolo numero assente da M173, anche se quest’ultimo contiene un 3: M173 = 1, 7, 49, 343 (interruzione), 2 (il più piccolo intero non ancora scritto), 14, 98, 686, 4 802, 33 614 (interruzione), 3 (ripresa e interruzione), 4 (ripresa), 28, 196, 1 372, 5, 35, 6, 42, 294, 2 058, 14 406, 100 842, 705 894, 4 941 258, 34 588 806, 8, 56, 392, 9, 63, 10, 70, 490, 3 430, 11, 77, 539, 12, 84, 588, 4 116, 28 812, 201 684, 1 411 788, 9 882 516, 69 177 612, 484 243 284, 13, 15…