C’è gioia! ----------------
Scegliete un numero intero, per esempio 19. Calcolate la somma dei quadrati delle sue cifre, qui 12 + 92 = 82, e ricominciate! Nel nostro esempio si ottiene poi 82 + 22 = 68, quindi 62 + 82 = 100 e infine 12 + 02 + 02 = 1. Si arriva sempre al numero 1? La risposta è no! Potete verificare che, partendo da 4, si ottengono successivamente 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 e poi… di nuovo 4! Una volta caduti in questo ciclo, è impossibile uscirne. In realtà, gli unici due esiti possibili sono questi: o la successione termina con 1, oppure si cade nel ciclo infernale 4, 16, 37… I numeri per i quali il processo termina con 1 si dicono felici.
Le domande che sorgono sono subito molte. Si sa, per esempio, che esistono infiniti numeri felici, ma non se ne conosce la densità. Alcuni matematici ritengono che sia pari a 1/7, ma la questione resta aperta e, per ora, si sa soltanto che non se ne discosta «di molto». Ci si può anche chiedere quanti passaggi siano necessari perché un numero felice giunga a 1. Per esempio, qual è il più piccolo intero felice che raggiunge 1 in n passaggi? Le risposte sono note solo per piccoli valori di n.
Nel 2006 Hao Pan dimostrò che esistono successioni arbitrariamente lunghe di numeri felici. La prima coppia è formata dagli interi 31 e 32. La prima terna inizia con 1 880, la prima quaterna con 7 839, la prima cinquina con 44 488 e la prima sestina con… 7 899 999 999 999 959 999 999 996. E per i numeri infelici? Le domande non mancano, ma molte risposte sono ancora da trovare!
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