Eseguire un calcolo su un dato e poi applicarlo di nuovo al risultato ottenuto: ecco un procedimento antico e onnipresente in matematica. La moltiplicazione stessa non è forse la ripetizione di un’addizione? E l’elevamento a potenza la ripetizione di una moltiplicazione? Poco dopo la nascita della scrittura, si trovano già tracce di soluzioni approssimate di problemi, per esempio il calcolo di una radice quadrata. La precisione dei risultati ottenuti allora senza macchine né un sistema di numerazione comodo quanto il nostro stupisce ancora e fa pensare che fossero già all’opera efficaci processi iterativi. Più tardi, presso i matematici greci, si coglie l’emergere di un ulteriore passo avanti nell’arte della ripetizione: non ci si limita più a ripetere un calcolo, ma si ripetono anche un ragionamento, una dimostrazione, per dedurne una verità generale sull’insieme infinito dei numeri interi.
Un modo di pensare -----------------
Alcuni storici della scienza, come Jean Itard (1902-1979), vedono in alcune dimostrazioni di Euclide i primi esempi di ragionamento per induzione. La formulazione rigorosa del procedimento si trova, altrettanto netta quanto limpida, in Blaise Pascal (vedi l’articolo *Blaise Pascal all’assalto dell’induzione*). Fu poi verso la fine del 19º secolo che si stabilì senza ambiguità il legame con la natura profonda dei numeri interi e con la loro costruzione assiomatica iterativa. Il ragionamento per induzione divenne allora il «ragionamento matematico per eccellenza», come spiega Henri Poincaré in la Science et l’Hypothèse. Il più celebre degli scienziati lorenesi sottolinea in particolare che «il carattere essenziale del ragionamento per induzione è che esso contiene, condensati per così dire in un’unica formula, un’infinità di sillogismi […]; è uno strumento che permette di passare dal finito all’infinito».