Un po’ di etimologia

Fu solo nella seconda metà del 19^º secolo che ciò avvenne, dapprima sotto l’impulso di Hermann Grassmann, fin dal 1861, poi in modo più formale per opera di Richard Dedekind nel 1888 e di Giuseppe Peano, che fece del principio di induzione un assioma della sua definizione dei numeri interi l’anno successivo. La parola stessa compare nel vocabolario matematico a cavallo del 20^º secolo.

Recurrens è il participio presente del verbo latino recurrerre, che significa «tornare indietro»; designava, per esempio, il fatto di ritrovarsi nello stesso punto, come un astro dopo una rivoluzione. In questo termine si riconosce il prefisso re, che già allora indicava la ripetizione, posto davanti a un verbo che significa «correre».

Lo ritroviamo nella celebre frase del poeta latino Orazio «Naturam expellas furca tamen usque recurret» («Puoi cacciare la natura a colpi di forcone, tornerà sempre al galoppo»).

«Ricorsivo», di uso recente in matematica, è formato invece su recursum, il supino (una sorta di participio passato) dello stesso verbo latino. In logica o in informatica designa un procedimento che richiama sé stesso; il significato latino di «tornare indietro» è qui chiaramente presente.

Iterazione e processo ----------------------

Si parla di iterazione in molte situazioni in cui un’esperienza si ripete. La parola latina iteratio aveva già lo stesso significato. Introdotta nella lingua francese nella sua forma francesizzata durante il Rinascimento, fu rapidamente sostituita da «ripetizione». Tornò, per prestito dall’inglese, nel suo significato matematico poco dopo la Prima guerra mondiale.

Quando si ripete indefinitamente un esperimento aleatorio, si parla di processo aleatorio o stocastico. Il termine «processo» deriva dalla stessa radice etimologica delle parole «processo» o «processione» ed è in realtà un termine latino che significa «progresso» o «progressione». Entrò nel francese nel 16^º secolo, concorrendo con il suo corrispondente francese «procès», che relegò all’ambito della giustizia. Il suo uso si estese alla psicologia, proprio all’inizio del 20^º secolo, e poi a diverse discipline scientifiche. Lo studio della convergenza di successioni di variabili aleatorie, promosso fra gli altri da Andreï Markov e poi da Paul Levy, si sviluppò all’inizio del 20^º secolo; fu allora che l’espressione «processo aleatorio» (o «stocastico») entrò nel vocabolario matematico.

Le Robert, dizionario storico ed etimologico della lingua francese, a cura di Alain Rey.

*Les mots et les maths.* Bertrand Hauchecorne, Ellipses, 2003 (2014 per l’edizione tascabile).

Ricorrenza o induzione? -------------------------

In latino, inductio designa «l’azione di condurre» e, per estensione, significa «risoluzione». Cicerone la usa per tradurre il greco epagôgê, che Aristotele impiegava nell’ambito della logica per designare «l’azione di condurre mediante un ragionamento». Oggi la si usa nel linguaggio scientifico francese per un ragionamento che, partendo da esperienze parziali, permette di supporre una legge generale; ciò avviene in particolare in fisica. Questo tipo di procedimento ha come antonimo la deduzione, che sembra più familiare in matematica; tuttavia anche in questa disciplina l’induzione serve a postulare un risultato, che sarà poi stabilito soltanto mediante un ragionamento deduttivo.

La maggior parte delle lingue occidentali usa la parola «induzione» per designare ciò che noi chiamiamo ragionamento per induzione. I tedeschi parlano persino di induzione completa (vollständige Induktion). L’idea è naturalmente di giungere a un risultato per tutti gli interi partendo da una proprietà dimostrata per 0 (o per qualunque intero iniziale), grazie a un passaggio generale da n a n+1.

Lasciamo al lettore la scelta di stabilire se una ricorrenza sia una deduzione o un’induzione. Questo tipo di dimostrazione ci sembra intuitivamente naturale, ma Peano ne ebbe bisogno per definire assiomaticamente gli interi.