Un poco de etimología

No fue hasta la segunda mitad del 19^.º siglo cuando esto se llevó a cabo, impulsado primero por Hermann Grassmann, ya en 1861, y después, de manera más formal, por Richard Dedekind en 1888 y Giuseppe Peano, quien convirtió el principio de inducción en un axioma de su definición de los números enteros al año siguiente. La propia palabra aparece en el vocabulario matemático a comienzos del 20^.º siglo.

Recurrens es el participio presente del verbo latino recurrerre, que significa «volver atrás»; designaba, por ejemplo, el hecho de hallarse de nuevo en el mismo lugar, como un astro tras una revolución. En este término reconocemos el prefijo re, que ya entonces expresaba repetición, antepuesto a un verbo que significa «correr».

La encontramos en la célebre frase del poeta latino Horacio « Naturam expellas furca tamen usque recurret » («Puedes expulsar lo natural a golpes de horca, siempre volverá al galope»).

«Recursivo», de uso reciente en matemáticas, se forma a partir de recursum, el supino —una especie de participio pasado— del mismo verbo latino. Designa, en lógica o informática, un procedimiento que se invoca a sí mismo; aquí está claramente presente el sentido latino de «volver atrás».

Iteración y proceso ----------------------

Se habla de iteración en muchas situaciones en las que se repite una experiencia. La palabra latina iteratio ya tenía el mismo sentido. Introducida en francés bajo su forma afrancesada en el Renacimiento, fue sustituida rápidamente por «repetición». Regresó, tomada del inglés, con su sentido matemático poco después de la Primera Guerra Mundial.

Cuando se repite indefinidamente un experimento aleatorio, se habla de proceso aleatorio o estocástico. De la misma raíz etimológica que las palabras «procès» o «procesión», «proceso» es en realidad un término latino que significa «progreso» o «progresión». Aparece en francés en el 16^.º siglo, compitiendo con su homólogo francés «procès», al que relega al ámbito de la justicia. Su uso se extiende a la psicología a principios mismos del 20^.º siglo y, después, a distintas disciplinas científicas. El estudio de la convergencia de sucesiones de variables aleatorias, impulsado entre otros por Andreï Markov y después por Paul Levy, se desarrolla a principios del 20^.º siglo; es entonces cuando la expresión «proceso aleatorio» (o «estocástico») entra en el vocabulario matemático.

Le Robert, diccionario histórico y etimológico de la lengua francesa, dirigido por Alain Rey.

*Les mots et les maths.* Bertrand Hauchecorne, Ellipses, 2003 (2014 para la edición «de bolsillo»).

¿Inducción o recurrencia? -------------------------

En latín, inductio designa «la acción de llevar» y, por extensión, significa «resolución». Cicerón la utiliza para traducir el griego epagôgê, que Aristóteles empleaba en lógica para designar «la acción de llevar mediante un razonamiento». Hoy se usa en el francés científico para referirse a un razonamiento que, partiendo de experiencias parciales, permite suponer una ley general; esto sucede en particular en física. Este tipo de enfoque tiene como antónimo la deducción, que parece más familiar en matemáticas; no obstante, la inducción se utiliza en esta disciplina para postular un resultado, que solo se establecerá después mediante un razonamiento deductivo.

La mayoría de las lenguas occidentales utilizan la palabra «inducción» para designar lo que llamamos razonamiento por recurrencia. Los alemanes hablan incluso de inducción completa (vollständige Induktion). La idea consiste, por supuesto, en obtener un resultado para todos los números enteros a partir de una propiedad demostrada para 0 (o para cualquier número entero inicial), gracias a un paso general de n a n+1.

Dejemos que el lector decida si el razonamiento por recurrencia es una deducción o una inducción. Este tipo de demostración nos parece intuitivamente natural, pero Peano la necesitó para definir axiomáticamente los números enteros.