¡Qué alegría! ----------------
Elija un número entero, por ejemplo 19. Calcule la suma de los cuadrados de sus cifras, en este caso 12 + 92 = 82, ¡y repita! En nuestro ejemplo obtenemos después 82 + 22 = 68, luego 62 + 82 = 100 y, por último, 12 + 02 + 02 = 1. ¿Se llega siempre al número 1? ¡La respuesta es no! Puede comprobar que, si se empieza por 4, se obtienen sucesivamente 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 y después... ¡de nuevo 4! Es imposible salir de este ciclo una vez que se ha caído en él. De hecho, solo hay dos desenlaces posibles: o bien la sucesión termina en 1, o bien se cae en el ciclo infernal 4, 16, 37... Los números para los que el proceso termina en 1 se llaman felices.
Surgen de inmediato muchas preguntas. Sabemos, por ejemplo, que existe una infinidad de números felices, pero desconocemos su densidad. Algunos matemáticos creen que es de 1/7, pero la cuestión sigue abierta y, por ahora, solo sabemos que «no está muy lejos» de ese valor. También cabe preguntarse cuántas etapas necesita un número feliz para llegar a 1. Por ejemplo, ¿cuál es el menor entero feliz que alcanza 1 en n etapas? Las respuestas solo se conocen para valores pequeños de n.
En 2006, Hao Pan demostró que existen sucesiones arbitrariamente largas de números felices. La primera pareja está formada por los enteros 31 y 32. El primer triplete comienza en 1 880, el primer cuarteto en 7 839, el primer quinteto en 44 488 y el primer sexteto en... 7 899 999 999 999 959 999 999 996. ¿Y qué ocurre con los números infelices? ¡No faltan preguntas, pero aún buscamos muchas respuestas!
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