Propiedades matemáticas de 2026 | Tangente

Año del gato negro, 2026 nos depara tres viernes 13: uno en febrero, otro en marzo y otro en noviembre. Para algunos quizá sea la ocasión de probar suerte en la lotería. En cualquier caso, que los supersticiosos de toda laya lo aprovechen, pues no puede haber más viernes 13 en un mismo año.

Quizá recuerde vivamente el año 2025 que, por ser el cuadrado de un número triangular, encerraba numerosas propiedades especialmente elegantes e incluso fue objeto de multitud de vídeos o animaciones en las redes sociales. A primera vista, el año 2026 podría parecer más insulso, pero no se engañe: ¡también hay motivos para divertirse este año!

A diferencia del año pasado, 2026 no es un cuadrado. En cambio, 2026³ – 2026² sí lo es (el de 91 170), y esto se generaliza a todo sucesor de un cuadrado. Además, 2026 es naturalmente la suma de dos cuadrados (2026 = 2025 + 1), pero esta es, sobre todo, la única manera de descomponerlo como suma de dos cuadrados no nulos. No ocurre así con todos los números enteros de la forma n² + 1.

Por ejemplo, 65 = 8² + 1 = 7² + 4² y 2117 = 46² + 1 = 34² + 31². Pierre de Fermat (hacia 1605-1665) se interesó mucho por las descomposiciones de los enteros como suma de dos cuadrados, en particular en una larga carta fechada en Navidad de 1640 y dirigida a «mi reverendo Padre» Marin Mersenne (1588-1648). Sin embargo, hubo que esperar a los trabajos de Carl Gustav Jacobi (1804-1851), en el siglo 19^.º, para poder establecer una fórmula que dé el número de descomposiciones de un entero dado como suma de dos cuadrados.

Volvamos a 2026 y al hecho de que se escriba como n² + 1, y en particular de que el entero n en cuestión, es decir, 45, sea impar. Al escribir los enteros en espiral, los sucesores de los cuadrados impares aparecen todos en la esquina inferior derecha.

Fue mientras asistía a una conferencia, al parecer particularmente aburrida, cuando Stanislaw Ulam (1909-1984) garabateó esta espiral en 1963. Coloreó en ella los números primos y vio aparecer así unos motivos bastante regulares que aún hoy conservan en parte todo su misterio.

Existe otro vínculo entre 2026 y los números de la forma n² + 1. Si parte de 0 y aplica varias veces la función definida por f(n) = n² + 1, acabará llegando a un nuevo número que termina en 0. Esto sucede al cabo de seis pasos y el resultado es, además, 458 330. También funciona partiendo de 1 o de 2, pero no de 3. Para convencerse, basta hacer los cálculos: se llega al ciclo (0, 1, 2, 5, 6, 7), que se repetirá indefinidamente sin volver jamás a 3. También con 2026 acabará llegando a un número que termina en 2026, igualmente en seis pasos. El número en cuestión es:

42162622043820589475763301393483294985588850597501496703159869505429422415 40544793505642652181734936693228117322802764824276355718732857750650374248 6145502193136631059483236263981479149047893828475561779562152026. ¡Uf!

Además, al iterar la función f sobre un número de 4 cifras o más, siempre se llega a un número cuyas 4 últimas cifras pertenecen al ciclo (4330, 8901, 7802, 1205, 2026, 4677).

Además de ser el sucesor de un cuadrado, 2026 es también el predecesor de un número primo. La próxima vez que ocurra será en 3250. Obsérvese, sin embargo, que 2208 también está entre un primo y un cuadrado, pero en el orden inverso.

Hemos visto que 2026 se expresa de una única manera como suma de dos cuadrados, pero también puede obtenerse como suma de siete cubos. En ese caso hay nueve soluciones posibles: ¿será capaz de encontrarlas todas?

Si desea sumar cuadrados, basta con elegirlos juiciosamente entre los 21 primeros: 1² + 2² + 3² + 5² + 6² + 7² + 10² + 11² + 13² + 14² + 15² + 17² + 19² + 21² = 2026.

Lo curioso es que los que se han eliminado no son unos cualesquiera: son los cuadrados de 4, 8, 9, 12, 16, 18 y 20. Todos estos enteros son divisibles a su vez por cuadrados. De hecho, solo hemos conservado los 14 primeros enteros libres de cuadrados, es decir, los enteros que no son divisibles por un cuadrado perfecto —salvo 1, por supuesto—. Fermat recurría además a estos enteros libres de cuadrados para abordar el célebre problema del teorema de Navidad.

Ya que hablamos de divisibilidad, sigamos en el terreno de la aritmética, donde la suma s(n) de los divisores propios de un entero n ofrece un verdadero campo de juego a cualquier aficionado o aficionada a las matemáticas recreativas.

Por ejemplo, s(2366) = 2026, pues los divisores de 2366 son 1, 2, 7, 13, 14, 26, 91, 169, 182, 338 y 1183. Los cálculos a mano son algo más largos, pero también puede comprobarse que s(s(4402)) = 2026. En cambio, si busca un entero n tal que s(s(s(n))) = 2026, corre el riesgo de llevarse una decepción, ¡pues no existe ninguno!

En otro orden de cosas, señalemos también que 2026 = 2¹¹ – 2 × 11. Esta expresión, tan agradable a la vista, puede interpretarse de forma concreta. Imagine que quisiera formar un grupo de 11 personas que hablasen chino o francés —pero no ambas lenguas—, sin que ninguna se quedase sola hablando su idioma. Hay entonces 2026 maneras de proceder, pues para cada persona tiene dos opciones de idioma (chino o francés), lo que da 2¹¹ posibilidades, de las que hay que restar las 11 situaciones en que solo una persona habla francés y las 11 en que solo una habla chino.

Disponer puntos para formar figuras particulares era una actividad muy apreciada en tiempos de los pitagóricos y siguió despertando interés durante mucho tiempo. Por ejemplo, pueden dibujarse «diamantes» colocando puntos en forma de rombo. Estos son, por ejemplo, los diamantes de lado 2, 3 y 4:

Ya que estamos en 2026, unamos tres diamantes de lado 26 por un vértice común para formar un triángulo equilátero, ¡lo que requiere… 2026 puntos!

Las imágenes pixeladas están formadas por pequeños cuadrados cuyo número también puede ser entretenido calcular. ¡En el semidisco de abajo hay exactamente 2026!

Los grafos también plantean problemas de recuento especialmente difíciles. Consideremos, por ejemplo, todos los grafos cuárticos, es decir, aquellos en los que cada vértice tiene exactamente cuatro aristas, y quedémonos, entre ellos, solo con los que poseen 17 vértices. Los hay muy bonitos, y existen en total 86 223 660. Es enorme, pero si retiramos todos los que son conexos, es decir, los formados por una sola pieza, ¡solo quedan 2026!

Las formas geométricas se extienden por todos los campos de las matemáticas. El triángulo de Pascal es bien conocido, pero sus variantes algo menos. Sin embargo, basta sustituir los 1 de los lados del triángulo de Pascal por otras sucesiones de números para obtener un nuevo territorio que explorar. Veamos, por ejemplo, qué se obtiene tomando como primer y último término de la fila n-ésima, después del vértice 0, las sumas de los enteros de 1 a n.

La suma de las casillas de la fila n vale 2(2ⁿ⁺¹ – n – 2) y, por tanto, en la novena fila la suma vale 2026.

Para terminar este recorrido dedicado a 2026, detengámonos en las torres de Hanói. Este célebre rompecabezas, inventado en 1889 por el travieso Édouard Lucas (1842-1891), consta de tres varillas. La primera varilla contiene una pila de anillos de tamaño decreciente que hay que trasladar a la tercera respetando las reglas siguientes: no tomar nunca más de un anillo a la vez y no colocar nunca un anillo mayor sobre otro menor. El juego es bien conocido por todos los aficionados y aficionadas a las matemáticas recreativas, y se necesitan como mínimo 2ⁿ – 1 movimientos para trasladar n anillos. Además de resolverlo, el juego encierra tesoros insospechados a primera vista. Desde entonces se han propuesto muchas variantes (véase Itération et récurence, Bibliothèque Tangente n.º 76, POLE, 2021) y algunas preguntas siguen abiertas.

Pero ¿conoce la variante «magnética», inventada por el israelí Uri Levy? En esta versión, los anillos tienen dos caras —digamos una azul y otra roja— que podemos imaginar polarizadas como imanes. Como en el juego clásico, solo puede desplazarse un anillo cada vez, pero además hay que darle la vuelta antes de volver a colocarlo y, por supuesto, como los anillos están imantados, no pueden tocarse dos caras del mismo color.

en cada movimiento y tener en cuenta la polarización.

Para la pila de dos anillos, ahora se necesitan por tanto 4 movimientos como mínimo para resolver el rompecabezas (frente a 3 en el juego clásico). Las torres de Hanói más habituales tienen ocho anillos, y entonces hacen falta 255 movimientos para resolver el rompecabezas. ¡En la versión magnética, con ocho anillos, se pasa a 2026 movimientos!

para resolver las torres de Hanói magnéticas.

Entonces, ¿quién dijo que el año 2026 no sería matemáticamente tan interesante como el anterior? Con este repaso, sin duda no exhaustivo, ¡hay motivos para convencerse de lo contrario y empezar bien el año!