El Año Nuevo suele dar pie a diversos juegos en torno a los números. He aquí, por ejemplo, algunas igualdades que nos ha enviado Gérard Crézé, de Saint-Michel-en-l’Herm:
(1 + 2) × 3 + 4 × 56 × (−7 + 8) × 9 = 2025;
(1 × 2 + 34) × 56 + (−7 + 8) × 9 = 2025;
− (1 + 2 × 3) + (34 − 5) × 67 + 89 = 2025.
El juego ha despertado cierto interés desde 2011, año en el que el director Takeshi Kitano propuso, con motivo de una exposición de arte contemporáneo, encontrar una expresión que represente el año formada por los primeros números naturales escritos en orden, separados por operadores matemáticos habituales (+, −, ×, /, raíz cuadrada, factorial y exponentes).
Para el año 2025 tenemos, por ejemplo: − (1 + 2) + (3!)4 + 5 + 6! + 7 = 2025.
¡Seguro que encontraréis muchas más! ¿Lograréis utilizar todavía menos números naturales que los siete primeros?
Estrechos vínculos con 45 -----------------------
Muchas particularidades del número 2025 merecen mencionarse. Varias de ellas están relacionadas con su raíz cuadrada, que vale 45, un número cuya escritura en base 2 es palindrómica (101101). Como todos los cuadrados de números impares, 2025 es un número octogonal centrado. Dicho de otro modo, puede representarse mediante un conjunto de puntos que forman octógonos regulares concéntricos de lados 0, 1, 2, 3, etc.

25 es un número octogonal centrado.

Los tres octógonos están formados por 1, 8 y 16 puntos.
Para entender por qué los números octogonales centrados coinciden exactamente con los cuadrados impares, puede seguirse la demostración sin palabras, pero no por ello menos elocuente, que se ofrece a continuación para dos casos particulares.

Transformación de números octogonales centrados en números cuadrados.

Por tanto, el número 2025 puede representarse mediante 23 octógonos concéntricos, el mayor de los cuales está formado por 176 puntos.
¡Los sorprendentes vínculos entre 2025 y su raíz cuadrada no acaban ahí! Sin duda conocéis los números primos gemelos, esos números primos separados tan solo por dos unidades, como 5 y 7, 11 y 13 o 29 y 31. Entre 2025 y su doble, varios números primos p tienen un gemelo mayor (de la forma p + 2), y hay exactamente 45.
Como pasatiempo adicional, intentad encontrar una partición de 45 en al menos tres números enteros distintos. Por ejemplo, 45 = 2 + 3 + 10 + 30 o 45 = 14 + 15 + 16 son descomposiciones de este tipo, pero 45 = 20 + 25 o 45 = 10 + 10 + 25 no lo son. Deberíais encontrar un buen número; hay exactamente 2025.
¡Sumas para no dormir! -------------------------------
Puesto que hablábamos de números figurados, seguramente ya habéis oído hablar de los números triangulares. Son los números que se obtienen como suma de los primeros números naturales consecutivos: *Tn = 1 + 2 + 3 + … + n = n (n* + 1)/2.
Como 2025 es un cuadrado, es la suma de dos números triangulares consecutivos: 2025 = T44 + T45.
En general, podréis comprobar mediante un sencillo cálculo algebraico que
n2 = *Tn*–1 + *Tn*.
Pero 2025 también es el cuadrado de un número triangular, pues:
45 = T9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
y, por ello, es igual a la suma de los primeros cubos de números naturales:
2025 = T92 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + … + 93.
Desde la Antigüedad se han dado, mediante bonitos recortes, varias demostraciones elegantes de esta relación, *Tn*2 = 13 + 23 + … + n3 (llamada teorema de Nicómaco).

La superficie de estas piezas de un célebre juego de construcción

es igual al cuadrado de la suma de los números enteros del 1 al 5. Apilándolas por colores, también se pueden construir cubos de aristas de longitudes del 1 al 5. De igual modo se demuestra que 2025 es la suma de los cubos del 1 al 9.
El número 2025 también recuerda el teorema de los dos cuadrados de Fermat, llamado asimismo teorema de Navidad, pues el magistrado de Toulouse lo comentó extensamente en una carta al padre Mersenne fechada en Navidad de 1640. Este teorema establece que un número entero es la suma de dos cuadrados si y solo si cada uno de sus factores primos de la forma 4k + 3 aparece con exponente par.
Aquí tenemos 2025 = 34 × 52, por lo que se cumplen las condiciones. Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851) aportó además algunas precisiones que permiten conocer el número de descomposiciones como suma de dos cuadrados; para 2025 solo hay una: 2025 = 272 + 362. Si nos permitimos sumar algunos cuadrados más, el número 2025 ofrece una nueva propiedad: es el menor cuadrado que puede escribirse como suma de 17 cuadrados distintos.
¿Sabréis encontrar una descomposición de este tipo?
Como pista, se puede utilizar el cuadrado de 23.
En la obra de Kaprekar ------------------------
El número 2025 aparece también en la obra del matemático indio Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986), cuyos trabajos de aritmética fueron divulgados entre el gran público por Martin Gardner. Se interesó por los números que calificó de harshad («que da alegría», en sánscrito) y que son divisibles por la suma de sus cifras. Es el caso de 2025, que es divisible por 2 + 0 + 2 + 5 = 9.
Como hemos visto a menudo aquí, el número 2025 debe parte de su interés a que es el cuadrado de 45. Resulta que 45 es un número de Kaprekar. Esto significa que podemos dividir su cuadrado en dos números cuya suma vale precisamente 45.
En efecto, 452 = 2025 y 20 + 25 = 45. Los próximos años en los que podrá observarse este fenómeno son 3025, 9801 y 88209, para el que, en efecto, se cumple (88 + 209)2 = 88 209.
Dattatreya Ramachandra Kaprekar.
Cuestiones de geometría discreta -----------------------------------
Dejemos ahora el mundo de la aritmética para abordar el de la geometría discreta o la combinatoria. Para empezar, partamos de un cuadrado y dividamos cada lado en n segmentos de igual longitud. Obtenemos así 4n puntos dispuestos formando un cuadrado. Unamos cada punto con el que se encuentra n + 1 puntos más adelante al recorrer el perímetro. Como un esquema suele valer más que un largo discurso, observad el bonito dibujo obtenido para n = 3. En él se cuentan 37 regiones.
¿Y con n = 22? Se obtienen 2025 regiones, naturalmente. Atención: el estudio del caso general no resulta tan sencillo.
¿Os habéis preguntado alguna vez cómo se puede representar un disco en una imagen pixelada? He aquí un método posible. Situémonos en una cuadrícula formada por pequeños cuadrados. Si trazamos un disco de radio 5 cuyo centro coincide con el centro de uno de los pequeños cuadrados, dicho disco contiene 61 pequeños cuadrados.
En un círculo de radio 26 hay 2025 pequeños cuadrados de lados enteros. ¡Un pequeño trabajo de coloreado debería permitirte comprobarlo!
El número 2025 también se esconde en un bonito acertijo de teoría de grafos. Coloca cuatro puntos en el plano y únelos todos entre sí. Obtendrás el grafo completo de orden 4, denotado K4. ¿Cuántos cruces has realizado? Si lo haces bien, quizá ninguno; por ejemplo, situando uno de los puntos dentro del triángulo formado por los otros tres.
Inténtalo ahora con el grafo K5. Es posible dibujarlo con un solo cruce, pero no se puede dibujar mejor. Para K6, se sabe que el mínimo es de 3 cruces y que, para K7, es de 9 cruces. Demostrar estos primeros resultados no es tan evidente.

Una representación de K7 con 9 cruces (en rojo).

Puede demostrarse que no es posible obtener una representación mejor.
Se conocen todos los valores hasta K14, pero a partir de ahí nada es seguro. Para K21, se conjetura que el mínimo es de 2025 cruces. ¿Quién logrará demostrarlo? Aunque quizá no lo sepamos antes de que termine el año, ¡esperemos que sea muy feliz para nuestras lectoras y nuestros lectores!