Para un matemático, la primera pregunta que puede plantearse al estudiar un número se refiere a su factorización. ¿Es el número natural 2 023 un número primo?
Pues no: se factoriza como 2 023 = 7 × 172.
También puede observarse que 2 023 = 2 048 – 25 = 211 – 52.
Raphaël Douady propone expresar 2 023 utilizando únicamente dos cifras, 2 y 5:
2 023 = 25×2 × 2 – 52
o también: 2 023 = 2(52 – 2(5 + 2)) – 52
o incluso: 2 023 = 2((5 – 2)2 + 2) – 52.
Con las dos únicas cifras 3 y 1, también podemos escribir:
2 023 = (33 – 1)(1+1) + ((3+3)(1+1) + 1) × 3³.
Os toca dar rienda suelta a la imaginación, como Dominique Souder, cuyo cuadrado mágico podréis descubrir en la página siguiente.
«Kitano» para 2023 ------------------------
Desde hace varios años, Tangente se interesa por el cálculo del año respetando ciertas reglas ideadas por el japonés Takeshi Kitano.
Kitano no es matemático: es director de cine. Durante la exposición «Mathématiques, un dépaysement soudain», celebrada en París en 2011 en la Fundación Cartier para el Arte Contemporáneo (véase Tangente 143, 2011), planteó un reto a los visitantes. Había que encontrar la fórmula más corta que permitiera expresar el año en curso escribiendo, por orden, los primeros números enteros y aplicándoles:
• operaciones habituales elegidas entre +, ‒, ×, /,
• potencias de cualquier orden o raíces cuadradas,
• y, eventualmente, factoriales y concatenaciones de cifras.
Todas las combinaciones son bienvenidas, pero el objetivo principal es conseguirlo con el menor número de cifras posible. Para el año 2 023, estas son algunas propuestas de dos colaboradores de Tangente.
Alain Zalmanski (poseedor del récord, con solo seis cifras):
2 023 = 1×2 + (3!)4 + 5 + 6!,
2 023 = (1+ 2 + 3)4 + (5!) × 6 + 7,
2 023 = (((1+ 2)3 + 4) × 5) × (6 + 7) + 8,
2 023 = ((1 + 2 + 3 – 4) × 56 + 7) × (8 + 9).
François Lavallou tampoco se queda atrás con sus propuestas:
2 023 = (‒1 + 234 + 56) × 7,
2 023 = (1 + 23) × 4 × 56 + 7,
2 023 = 1234 × (‒5 + 6) +789.
2023 en la criba de Flavio Josefo ------------------------------------------
Más allá de estas consideraciones lúdicas, una de las propiedades más destacables del número entero 2 023 es, sin duda, ser un número de Flavio Josefo: procede de una «criba» particular, semejante a la criba de Eratóstenes (véase, por ejemplo, Tangente 149, 2012), que permite generar números primos.
Flavio Josefo (hacia 37 ‒ hacia 100), de origen judío y nacido en Judea bajo dominación romana, fue comandante militar de Galilea durante la guerra contra los romanos, antes de establecerse posteriormente en Roma. Se le considera uno de los cronistas históricos más importantes de la Antigüedad grecorromana. Le debemos el relato, en griego, de los acontecimientos y conflictos de su época entre Roma y Jerusalén. Su nombre está ligado a un problema de combinatoria que puede ilustrarse mediante el trágico relato detallado en el recuadro.
Inspirada en este relato, pero modificada para aplicarla al conjunto de los enteros positivos, la criba de Flavio Josefo es la siguiente.
• Se escribe la sucesión de los números enteros: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49…
• En la primera etapa se elimina uno de cada dos números de esta lista. Se obtiene entonces: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39 41, 43, 45, 47, 49…
• En la segunda etapa se elimina uno de cada tres números de esta nueva lista: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, 31, 33, 37, 39, 43, 45, 49…
• En la tercera etapa se elimina ahora uno de cada cuatro números de esta lista: 1, 3, 7, 13, 15, 19, 25, 27, 31, 37, 39, 43, 49…
• Este proceso se repite indefinidamente, eliminando uno de cada n + 1 números en la nésima etapa.
Los números que permanecen tras pasar por esta criba son, por definición, los números de Flavio Josefo. Entre los enteros inferiores a 100 se encuentran 1, 3, 7, 13, 19, 27, 39, 49, 63, 79 y 91.
Después aparecen muchos otros números enteros, entre ellos… 2 023. ¡Es el quincuagésimo primer número de Flavio Josefo!
Aunque existen infinitos, parecen «mucho menos numerosos» que los números primos. En efecto, hay treinta y cinco números de Flavio Josefo inferiores a 1 000, frente a ciento sesenta y ocho números primos. Y la diferencia no deja de aumentar: entre los enteros inferiores a 10 000 hay ciento doce números de Flavio Josefo y mil doscientos veintinueve números primos; entre los enteros inferiores a 100 000, hay trescientos cincuenta y siete números de Flavio Josefo y nueve mil quinientos noventa y dos números primos.
La distribución asintótica de los números de Flavio Josefo es distinta de la de los números primos. Cuando n tiende a infinito, la cantidad de números de Flavio Josefo inferiores a n es equivalente a 2nπ2 \sqrt{\dfrac{n}{\pi}}, mientras que, según el teorema de los números primos, la cantidad de números primos inferiores a n es equivalente a nln⁡n\dfrac{n}{\ln n} (donde ln designa el logaritmo neperiano): esta última es una función que crece más deprisa que la primera cuando n es «cada vez mayor».
Puede sorprender que se hayan estudiado tales números. Fueron introducidos por el matemático estadounidense de origen polaco Stanislaw Ulam (1909‒1984), en particular para distinguir, entre las propiedades de los números primos, cuáles son consecuencia de ser el resultado de una criba y cuáles les son propias. Ulam también es conocido por haber formado parte del equipo que desarrolló la bomba H durante la Segunda Guerra Mundial. Sea como fuere, gracias a él contamos con una bonita propiedad que sumar a los méritos de 2023, ¡y confiemos en que así el año que comienza será aún mejor!