Un número entero es primo si solo admite dos divisores distintos: 1 y él mismo. Es compuesto si admite más. Por ejemplo, 17 solo es divisible por 1 y por él mismo: por tanto, es primo, mientras que 18, que admite seis divisores (1, 2, 3, 6, 9 y 18), es compuesto. Recordemos, sin embargo, que 0 y 1 tienen un estatus particular: no son ni primos ni compuestos.
No se puede afirmar a priori que un número es primo solo con mirarlo, es decir, a partir de su escritura: para los números grandes suelen ser necesarios incluso cálculos considerables. En cambio, esto ya no es cierto, en general, para demostrar que un número es compuesto. Si su escritura habitual (es decir, en base 10) presenta ciertas propiedades, puede saberse fácilmente que el número es compuesto: por ejemplo, si su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8, el número es divisible por 2; si su última cifra es 0 o 5, es divisible por 5; si la suma de sus cifras es divisible por 3, es divisible por 3, etc. Existen además otros criterios de divisibilidad basados también en la escritura del número (véase Cálculo mental, Tangente hors-série 95, 2025).
¿Qué ocurre entonces con un número primo si transformamos sus cifras? Veamos primero qué sucede cuando las permutamos.
Ante las permutaciones
Tomemos, por ejemplo, el número 379: es primo, y los números obtenidos al permutar sus cifras —397, 739, 793, 937 y 973— son primos, salvo 793, divisible por 13, y 973, divisible por 7. ¿Puede encontrarse un número primo tal que todas las permutaciones de sus cifras den un número primo? La respuesta es afirmativa. Por ejemplo, 199 es primo y los números obtenidos al permutar sus cifras, 919 y 991, también lo son. Un número así se denomina primo permutable. También se emplean los términos primo absoluto o número absolutamente primo. Estos números fueron introducidos en 1951 por el matemático alemán Hans-Egon Richert (1924-1993).
