Definamos la función f del modo siguiente: si abcd … es la representación decimal del entero n, f (n) es el producto *a b × c d... Cuando n tiene un número impar de cifras, la última cifra de f(n*) no tiene exponente y, por convenio, se toma 00 = 1.
Así, *f (2564) = 25 × 64 = 41 472 y *f (23417) = 23 × 41 × 7 = 224. Al iterar esta aplicación, siempre se llega a números de una sola cifra, que son puntos fijos de f.
Así, f (2564) = 41 472, f (41 472) = 131 072 y *f (131 072) = 0.
Del mismo modo, f (23417) = 224, f (224) = 16 y *f (16) = 1. ¡En realidad, no siempre es así! Hay excepciones, pues existen otros puntos fijos: se conocen dos. Se conjetura que no hay más. La búsqueda se ha realizado hasta 10100.
Estos dos puntos fijos son: 2592 = 25 × 92 y
24 547 284 284 866 560 000 000 000 = 24 × 54 × 72 × 84 × 28 × 48 × 66 × 56, pues no olvidemos que 00 = 1.
También se puede llegar a estos puntos fijos:
por ejemplo, f (45 756) = 103 262 208 y f (103 262 208) = 2592.
Fue John Conway (véase « El genio de John Conway », Tangente n.º 194, 2020) quien introdujo esta función f y sus iteraciones en 2007. Los denominó trenes de potencias.
También introdujo otra aplicación en 2014, en cierto modo su inversa. Sea g esta nueva función. Si la descomposición de un entero n en factores primos es *ab × c d…, entonces g(n) es igual a abcd … Por ejemplo, g (12) = g* (22 × 3) = 223. Los números primos, al igual que 1, son por tanto puntos fijos de g. También cabe preguntarse qué ocurre al iterar la aplicación g. En el ejemplo anterior, nos detenemos ahí porque 223 es un número primo, de modo que g (223) = 223. Si partimos de 9 = 32, pasamos por los valores 32, 25, 52 hasta detenernos en 2213, que es primo. Conway conjeturó que siempre se llegaba a un número primo.
Pero, en 2017, James Davis encontró un punto fijo que no es primo.
Es el entero 13 532 385 396 179 = 13 × 532 × 3853 × 96179. ¡La conjetura es, por tanto, falsa!
