Definiamo dunque un’applicazione f come segue: se abcd … è la scrittura dell’intero n, f (n) è uguale al prodotto *a b × c d... Quando n ha un numero dispari di cifre, l’ultima cifra di f(n*) non ha esponente e, per convenzione, si pone 00 = 1.
Si ottiene quindi *f (2564) = 25 × 64 = 41 472 e *f (23417) = 23 × 41 × 7 = 224. Iterando questa applicazione, si giunge sempre a numeri di una sola cifra, che sono punti fissi di f.
Così, f (2564) = 41 472, f (41 472) = 131 072 e *f (131 072) = 0.
Allo stesso modo f (23417) = 224, f (224) = 16 e *f (16) = 1. In realtà, non è sempre così! Ci sono eccezioni, perché esistono altri punti fissi, due dei quali noti. Si congettura che non ve ne siano altri. La ricerca è stata condotta fino a 10100.
Questi due punti fissi sono: 2592 = 25 × 92 e
24 547 284 284 866 560 000 000 000 = 24 × 54 × 72 × 84 × 28 × 48 × 66 × 56, poiché, ricordiamolo, 00 = 1.
Si può anche arrivare a questi punti fissi:
per esempio f (45 756) = 103 262 208 e f (103 262 208) = 2592.
Fu John Conway (vedi « Il genio di John Conway », Tangente n°194, 2020) a introdurre nel 2007 questa applicazione f e le sue iterate. Le chiamò treni di potenze.
Nel 2014 introdusse anche un’altra applicazione, in un certo senso la sua inversa. Indicata con g, l’applicazione è definita come segue: se la scomposizione in fattori primi di un intero n è *ab × c d…, l’immagine g(n) è uguale ad abcd … Per esempio, g (12) = g* (22 × 3) = 223. I numeri primi, così come 1, sono dunque punti fissi di g. Naturalmente, si può anche osservare che cosa accade reiterando l’applicazione g. Nell’esempio precedente, ci fermiamo qui perché 223 è un numero primo, dunque g (223) = 223. Partendo da 9 = 32, si passa per i valori 32, 25, 52 per fermarsi a 2213, che è primo. Conway congetturò che si giungesse sempre a un numero primo.
Ma nel 2017 James Davis trovò un punto fisso che non è primo.
Si tratta dell’intero 13 532 385 396 179 = 13 × 532 × 3853 × 96179! La congettura è dunque falsa.
