Un numero intero è primo se ammette soltanto due divisori distinti: 1 e sé stesso. È composto se ne ammette di più. Per esempio, 17 è divisibile soltanto per 1 e per sé stesso: è quindi primo, mentre 18, che ammette sei divisori (1, 2, 3, 6, 9 e 18), è composto. Ricordiamo però che 0 e 1 hanno uno status particolare: non sono né primi né composti.
Non si può affermare a priori che un numero sia primo semplicemente guardandolo, cioè osservandone la scrittura: per i numeri grandi sono spesso necessari calcoli considerevoli. In generale, invece, non accade altrettanto per dimostrare che un numero è composto. Se la sua scrittura abituale, cioè in base 10, possiede certe proprietà, si può facilmente stabilire che il numero è composto: per esempio, se la sua ultima cifra è 0, 2, 4, 6 oppure 8, il numero è divisibile per 2; se l’ultima cifra è 0 oppure 5, è divisibile per 5; se la somma delle sue cifre è divisibile per 3, è divisibile per 3, ecc. Esistono anche altri criteri di divisibilità basati anch’essi sulla scrittura del numero (vedi Calcolo mentale, Tangente hors-série 95, 2025).
Che cosa accade dunque a un numero primo se si trasformano le sue cifre? Vediamo anzitutto che cosa succede quando le si permuta.
Le permutazioni
Prendiamo per esempio il numero 379: è primo e i numeri ottenuti permutandone le cifre, 397, 739, 793, 937 e 973, sono primi, con l’eccezione di 793, divisibile per 13, e di 973, divisibile per 7. Si può trovare un numero primo tale che tutte le permutazioni delle sue cifre diano un numero primo? La risposta è sì. Per esempio, 199 è primo e anche i numeri ottenuti permutandone le cifre, 919 e 991, sono primi. Un tale numero è detto primo permutabile. Si incontrano anche le denominazioni primo assoluto o numero assolutamente primo. Questi numeri furono introdotti nel 1951 dal matematico tedesco Hans-Egon Richert (1924-1993).
