Basta poco per essere felici

Avrete sicuramente già imparato che, sommando le cifre di un numero intero n e ripetendo l’operazione con il risultato ottenuto, si finisce per trovare il resto della divisione euclidea di n per 9. Per esempio, con 1 789 si ottiene 1 + 7 + 8 + 9 = 25, poi 25 dà 2 + 5 = 7. Del resto, 1 789 = 198 × 9 + 7. Che cosa succede se modifichiamo leggermente le regole del gioco e sommiamo i quadrati delle cifre?

Riprendiamo dunque il nostro primo esempio per capire bene le nuove regole del gioco. Questa volta l’intero 1 789 dà 1² + 7² + 8² + 9² = 195. Poi si ricomincia: 195 dà 1² + 9² + 5² = 107. Siamo ben avviati, vediamo che cosa accade dopo: 107 dà 50, poi 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16… Tutto ciò sembra piuttosto erratico. Eppure, perseverando ancora un po’, si trovano subito dopo 37, 58 e poi 89. Avevamo già incontrato questo intero, quindi ora sappiamo che non usciremo più da questo ciclo di lunghezza 8: 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58.

Naturalmente, la tentazione di provare con un nuovo numero è forte! Proviamo con 2 026. Questo intero dà: 44 → 32 → 13 → 10 → 1. Possiamo considerare il processo concluso qui, poiché l’intero 1 dà di nuovo 1. Si presentano dunque almeno due casi: arrivare a 1 oppure giungere al ciclo degli otto interi già incontrato, o, il che è lo stesso, arrivare a 4. Gli interi che arrivano a 1 sono detti numeri felici. Il loro studio iniziò probabilmente con un articolo della rivista The American Mathematical Monthly, datato 1945. Il suo autore, Arthur Porges, era allora istruttore in una base militare. Questo professore di matematica all’Illinois Institute of Technology si sarebbe fatto conoscere qualche anno dopo dal grande pubblico grazie a un’abbondante produzione di racconti di fantascienza e polizieschi dalle trame particolarmente curate.