Vous avez sûrement déjà appris qu’en additionnant les chiffres d’un nombre entier n et en recommençant avec le résultat obtenu, vous finiriez par obtenir le reste dans la division euclidienne par 9 de n. Par exemple, avec 1 789, on trouve 1 + 7 + 8 + 9 = 25 puis 25 donne 2 + 5 = 7. On a bien par ailleurs 1 789 = 198 × 9 + 7. Que se passe-t-il si on modifie légèrement les règles du jeu et si on additionne les carrés des chiffres ?
Y a d’la joie
Reprenons donc notre premier exemple pour bien comprendre les nouvelles règles du jeu. L’entier 1 789 donne cette fois-ci 12 + 72 + 82 + 92 = 195. Puis on recommence : 195 donne 12 + 92 + 52 = 107. Nous voilà bien lancés, voyons ce que cela donne ensuite : 107 donne 50 puis 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16… Tout cela semble bien erratique. Et pourtant, en persévérant un peu on trouve juste après 37, 58 puis 89. Nous avions déjà croisé cet entier-là donc nous savons maintenant que nous ne sortirons plus de ce cycle de longueur 8 : 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58.
Évidemment, la tentation est forte d’essayer avec un nouveau nombre ! Allons-y, avec 2 026. Cet entier donne : 44 → 32 → 13 → 10 → 1. On peut considérer que le processus s’arrête ici car l’entier 1 donne à nouveau 1. Au moins deux cas s’offrent donc à nous : aboutir à 1 ou aboutir dans le cycle de huit entiers déjà rencontré ou, ce qui revient au même, aboutir à 4. Les entiers qui aboutissent à 1 sont appelés des nombres heureux. Leur étude a vraisemblablement commencé dans un article de la revue The American Mathematical Monthly daté de 1945. Son auteur, Arthur Porges, est alors instructeur dans une base militaire. Ce professeur de mathématiques à l’Illinois Institute of Technology se fera connaître quelques années plus tard du grand public pour une abondante production de récits de science-fiction et de nouvelles policières aux intrigues particulièrement travaillées.
