Un nombre entier est premier si il n’admet que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Il est composé si il en admet davantage. Par exemple, 17 n’est divisible que par 1 et lui-même : il est donc premier alors que 18 qui admet six diviseurs (1, 2, 3, 6, 9 et 18) est composé. Par contre, rappelons que 0 et 1 ont un statut à part : ils ne sont ni premiers, ni composés.
Affirmer qu’un nombre est premier ne peut pas se faire a priori uniquement en le regardant, c’est-à-dire à partir de son écriture : des calculs conséquents sont même souvent nécessaires pour les grands nombres. Par contre, cela n’est plus vrai en général pour montrer qu’un nombre est composé. Si son écriture habituelle (c’est-à-dire en base 10) posséde certaines propriétés, on peut savoir facilement que le nombre est composé : par exemple si son dernier chiffre est égal à 0, 2, 4, 6 ou 8, le nombre est divisible par 2, si son dernier chiffre est égal à 0 ou 5, il est divisible par 5, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, il est divisible par 3, etc. Et il existe d’autres critères de divisibilité basés eux aussi sur l’écriture du nombre (voir Calcul mental, Tangente hors-série 95, 2025).
Alors que se passe-t-il pour un nombre premier si on effectue des transformations sur ses chiffres ? Regardons tout d’abord ce qu’il se passe quand on les permute.
Face aux permutations
Prenons par exemple le nombre 379 : il est premier et les nombres obtenus en permutant ses chiffres, 397, 739, 793, 937 et 973 sont premiers à l’exception de 793, divisible par 13, et 973, divisible par 7. Peut-on trouver un nombre premier tel que toutes les permutations de ses chiffres donnent un nombre premier ? La réponse est positive. Par exemple, 199 est premier et les nombres obtenus en permutant ses chiffres, 919 et 991, sont aussi premiers. Un tel nombre est appelé premier permutable. On rencontre aussi la terminologie premier absolu ou nombre absolument premier. Ces nombres ont été introduits en 1951 par le mathématicien allemand Hans-Egon Richert (1924-1993).
