nombre composé

Prenez 12 objets. Vous pouvez les ranger en 3 groupes de 4, sans reste. Le nombre 12 possède donc des diviseurs autres que 1 et 12 : par exemple 3 et 4. C'est ce qui en fait un nombre composé.

Sa décomposition 12 = 2 × 2 × 3 révèle les nombres premiers qui le constituent. Le facteur 2 apparaît deux fois, ce qui montre que les facteurs premiers ne sont pas nécessairement distincts.

Un nombre composé est un entier strictement positif qui possède un diviseur différent de 1 et de lui-même. Autrement dit, il existe deux entiers strictement supérieurs à 1 dont le produit donne ce nombre. Ainsi, 12 est composé puisque 12 = 3 × 4.

Parmi les entiers positifs, un nombre composé n'est pas premier. Les entiers 0 et 1 restent toutefois hors de cette opposition : aucun des deux n'est premier ni composé. Tout nombre composé peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, avec d'éventuelles répétitions. Pour l'exemple conducteur, 12 = 2 × 2 × 3. Tous les entiers pairs strictement supérieurs à 2 sont composés, car 2 est alors un diviseur autre que 1 et le nombre lui-même.

Par extension aux entiers relatifs, on qualifie un entier de composé lorsque sa valeur absolue est un nombre composé : −12 est donc composé au même titre que 12. Le crible de Sundaram, publié en 1934 par le mathématicien indien Sundaram, élimine les entiers de la forme i + j + 2ij ; les indices non éliminés permettent d'obtenir les nombres premiers impairs.

Nous voulons déterminer si 12 est composé et obtenir sa décomposition en facteurs premiers.

Données :
entier étudié : 12 ;
premier diviseur essayé : 2 ;
objectif : poursuivre jusqu'à n'obtenir que des facteurs premiers.

1. Diviser 12 par 2 donne 6, sans reste : 12 = 2 × 6.
2. Diviser 6 par 2 donne 3, sans reste : 6 = 2 × 3.
3. Le nombre 3 est premier, donc la décomposition s'arrête.
4. Remplacer 6 par 2 × 3 donne 12 = 2 × 2 × 3.

Le diviseur 2, différent de 1 et de 12, suffit déjà à conclure que 12 est composé. La décomposition peut se lire comme un arbre de produits. Le contrôle est refaisable en multipliant les facteurs obtenus : 2 × 2 × 3 = 12.

Pour classer 12, chercher un partage en groupes égaux fournit un test concret : 3 groupes de 4 montrent immédiatement un diviseur intermédiaire. Si aucun partage autre qu'en 1 groupe ou 12 groupes ne convenait, il faudrait envisager le classement parmi les nombres premiers.

Pour un entier pair supérieur à 2, le test par 2 donne directement le verdict « composé ». Pour 12, il ouvre aussi la factorisation : on divise encore le quotient 6 par 2, puis on s'arrête au facteur premier 3.

Pour identifier les nombres premiers impairs jusqu'à une borne choisie, le crible de Sundaram offre une autre voie. Les lettres i et j désignent des entiers positifs, avec i ≤ j : on élimine chaque indice k qui peut s'écrire k = i + j + 2ij. À chaque indice k restant correspond alors l'entier impair 2k + 1, premier dans la plage étudiée. Ce crible répond à un autre besoin que la factorisation détaillée de 12.

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même. Un nombre composé en possède au moins un autre : 12 est composé grâce au diviseur 2, tandis que 2 est premier.

Un facteur premier est l'un des nombres premiers apparaissant dans une décomposition, et non le nombre composé tout entier. Dans 12 = 2 × 2 × 3, les facteurs premiers sont 2 et 3 ; le nombre décomposé est 12.

Le seuil 2 demande de l'attention. Tous les entiers pairs supérieurs à 2 sont composés, mais 2 lui-même est premier. Le réflexe correct est donc de vérifier l'inégalité avant de conclure à partir de la parité.

Ni 0 ni 1 ne sont composés. Les ranger automatiquement parmi les « non-premiers donc composés » efface les exceptions données par la définition. Il faut les laisser hors des deux catégories.

Un facteur peut se répéter. Chercher seulement des facteurs premiers distincts ferait manquer la décomposition de 12. Il faut conserver les multiplicités : 12 = 2 × 2 × 3, avec deux occurrences de 2.

Pour un entier négatif, regarder la valeur absolue. L'extension aux entiers relatifs ne teste pas directement le signe : −12 est dit composé parce que sa valeur absolue 12 est composée.

Le glossaire nombre premier précise l'autre catégorie centrale et le critère exact fondé sur les diviseurs.