décomposition en facteurs premiers

Prenons 360 objets et formons des groupes égaux aussi longtemps que possible. Le nombre 360 peut être partagé par 2, puis encore par 2, puis encore par 2. Le quotient restant, 45, se partage par 3, encore par 3, puis par 5.

On arrive ainsi aux briques premières 2, 3 et 5 : 360 = 2³ × 3² × 5. Leur ordre peut changer, mais ni les briques ni leur nombre d'apparitions ne changent.

La décomposition en facteurs premiers d'un entier naturel strictement supérieur à 1 est son écriture comme produit de nombres premiers. Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Les facteurs premiers distincts peuvent être rangés dans l'ordre croissant et regroupés en puissances.

Si l'entier est noté n, si ses facteurs premiers distincts sont notés p₁, p₂, …, p_k, et si leurs nombres d'apparitions sont les entiers positifs α₁, α₂, …, α_k, alors son écriture est $n=p_1^{{\alpha }_1}\cdot p_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}n=p\_1^\{\backslash alpha\_1\}\backslash cdot\; p\_2^\{\backslash alpha\_2\}\backslash cdots\; p\_k^\{\backslash alpha\_k\}$.

Cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près. Ainsi, 360 = 2³ × 3² × 5 ; écrire les mêmes facteurs dans un autre ordre ne donne pas une autre décomposition. Cette unicité, appelée théorème fondamental de l'arithmétique, explique pourquoi la décomposition sert à étudier la divisibilité et à calculer le PGCD ou le PPCM.

Si n est un entier naturel strictement supérieur à 1, alors il existe des nombres premiers distincts p₁, p₂, …, p_k, rangés dans l’ordre strictement croissant, et des entiers positifs α₁, α₂, …, α_k tels que $n=p_1^{{\alpha }_1}\cdot p_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}n=p\_1^\{\backslash alpha\_1\}\backslash cdot\; p\_2^\{\backslash alpha\_2\}\backslash cdots\; p\_k^\{\backslash alpha\_k\}$.

Les facteurs premiers et leurs exposants sont uniques. Seul l'ordre d'écriture des facteurs peut varier si l'on ne les range pas par ordre croissant.

Le théorème s'applique aux entiers naturels n qui vérifient n > 1. Il faut donc connaître un entier exact, puis chercher des diviseurs premiers jusqu'à ce que le quotient obtenu soit 1. Le résultat est une liste de facteurs premiers accompagnés de leurs exposants.

À chaque étape, le diviseur choisi doit être premier et diviser le quotient sans reste. Pour 360, les divisions successives par 2, 2, 2, 3, 3 et 5 aboutissent bien à 1.

Le cas n = 1 bloque la procédure : 1 n'a aucun facteur premier. On emploie alors la convention du produit vide, égal à 1, mais on ne parle pas d'une décomposition de 1 en facteurs premiers. Pour 0, aucune décomposition première finie n'existe.

On cherche la décomposition de l'entier 360. Les diviseurs premiers essayés sont pris dans l'ordre croissant, et chaque quotient devient le nombre à décomposer à l'étape suivante.

Étape 1. 360 ÷ 2 = 180, puis 180 ÷ 2 = 90, puis 90 ÷ 2 = 45. Le facteur 2 apparaît donc trois fois.

Étape 2. 45 n'est plus divisible par 2. On poursuit avec 3 : 45 ÷ 3 = 15, puis 15 ÷ 3 = 5. Le facteur 3 apparaît deux fois.

Étape 3. 5 ÷ 5 = 1, donc le dernier facteur est 5. En regroupant les répétitions, on obtient 360 = 2³ × 3² × 5. Le contrôle refaisable est 8 × 9 × 5 = 360. L'arbre de facteurs donne la même liste de feuilles premières, quel que soit le découpage choisi.

Lorsque deux entiers naturels strictement supérieurs à 1 sont décomposés en facteurs premiers, on compare leurs facteurs et leurs exposants pour vérifier si l'un divise l'autre. Un diviseur ne peut demander aucun facteur absent ni un exposant plus grand. Pour un test isolé, une division directe reste souvent plus rapide.

Pour calculer un PGCD, on garde les facteurs communs avec les plus petits exposants. Pour calculer un PPCM, on conserve tous les facteurs présents avec les plus grands exposants. L'algorithme d'Euclide est généralement préférable au calcul du PGCD lorsque les entiers sont grands et que leurs décompositions ne sont pas connues.

Pour simplifier une fraction ou une racine contenant de petits entiers, la décomposition fait apparaître les facteurs communs ou les puissances complètes. Elle devient peu commode à la main dès que le nombre possède de grands facteurs premiers.

Facteur et facteur premier. Dans 360 = 36 × 10, les nombres 36 et 10 sont des facteurs, mais ils ne sont pas premiers. La décomposition complète doit poursuivre jusqu'aux seuls facteurs 2, 3 et 5.

Décomposition et liste des diviseurs. La décomposition 360 = 2³ × 3² × 5 décrit les briques multiplicatives de 360. Un diviseur, comme 12, est un produit formé avec certains de ces facteurs et des exposants qui ne dépassent pas ceux de 360.

Décomposition en facteurs premiers et factorisation algébrique. La première porte ici sur un entier naturel, comme 360. La seconde transforme une expression contenant des variables, par exemple en mettant un facteur commun en évidence ; elle relève d'un autre cadre.

Le seuil n > 1 compte. L'entier 1 n'est pas premier et ne possède aucun facteur premier. L'entier 0 est divisible par tout nombre premier, ce qui empêche toute liste finie unique. Il faut traiter séparément 0 et 1.

L'ordre n'est pas une différence. Les produits 2³ × 3² × 5 et 5 × 3² × 2³ décrivent la même décomposition de 360. Ranger les nombres premiers par ordre croissant donne une écriture canonique et évite de compter deux fois le même résultat.

Une division inachevée ne suffit pas. L'égalité 360 = 36 × 10 est exacte, mais 36 et 10 sont encore composés. Il faut continuer jusqu'à ce que chaque feuille ou chaque diviseur retenu soit premier, puis vérifier que leur produit redonne 360.

L'unicité ne rend pas le calcul instantané. Le théorème garantit qu'une décomposition existe et qu'elle est unique ; il ne fournit pas une procédure rapide pour les très grands entiers. Dans ce cas, il faut employer des algorithmes de factorisation adaptés.

Le glossaire nombre premier précise pourquoi les facteurs terminaux de la décomposition ne se divisent plus.

Le théorème fondamental de l'arithmétique approfondit l'existence et l'unicité de cette écriture.

Les fiches PGCD et Ppcm montrent comment comparer les exposants de plusieurs décompositions pour obtenir un diviseur ou un multiple remarquable.