théorème fondamental de l'arithmétique

Prenons 360 objets et formons des groupes aussi petits que possible. En divisant successivement leur nombre par 2, puis par 3 et par 5, on obtient 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5. Ces facteurs sont tous premiers : chacun n'est divisible que par 1 et lui-même.

On pourrait les écrire dans un autre ordre, mais aucune autre collection de nombres premiers ne donnerait 360. Le théorème garantit précisément cette empreinte multiplicative propre à chaque entier positif.

Le théorème fondamental de l'arithmétique est un résultat d'existence et d'unicité. Il porte sur les entiers strictement positifs. Pour tout entier nommé n et supérieur ou égal à 2, il existe des nombres premiers distincts p₁, …, p_k et des exposants entiers strictement positifs α₁, …, α_k tels que :

L'existence assure qu'une telle décomposition peut être trouvée. L'unicité assure que les mêmes nombres premiers apparaissent avec les mêmes exposants ; seul leur ordre d'écriture peut changer. Pour n = 1, la décomposition est le produit vide : aucun facteur premier n'apparaît. Dans un anneau factoriel, le même principe subsiste avec les éléments irréductibles appropriés et une unicité tenant compte des unités et de l'ordre. L'anneau des polynômes à coefficients dans un corps commutatif en fournit un exemple. Euclide avait donné dans le Livre VII de ses Éléments une forme affaiblie, probablement connue de civilisations antérieures. La première démonstration complète est attribuée à Al-Farisi (vers 1260–1320). En 1801, Gauss publie une formulation moderne du théorème pour les entiers ; ses travaux sur les entiers de Gauss ℤ[i] sont ultérieurs, tandis que l'analogue pour les polynômes relève d'un développement distinct.

Si n est un entier au moins égal à 2, alors n est un produit de puissances de nombres premiers distincts. Si p_i désigne le iᵉ nombre premier retenu et α_i son exposant positif, cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près. Autrement dit, deux décompositions premières de n contiennent exactement les mêmes facteurs avec les mêmes multiplicités. Pour n = 1, on retient le produit vide.

Dans sa forme arithmétique directe, le nombre à décomposer doit être un entier strictement positif. Les facteurs retenus sont premiers, et les répétitions d'un même facteur sont regroupées dans un exposant entier positif. L'ordre choisi pour écrire les facteurs ne compte pas.

Le cas n = 1 est admis sans facteur premier, comme produit vide. Le nombre 0 est hors du domaine du théorème et n'admet aucune décomposition finie composée uniquement de facteurs premiers. Pour un entier négatif tel que −360, on décompose 360 puis on conserve séparément le facteur −1. Dans un autre anneau, il faut vérifier que cet anneau est factoriel avant d'invoquer la même unicité.

On cherche la décomposition première de 360. La seule donnée est l'entier positif 360. Le calcul s'arrête lorsque tous les facteurs obtenus sont premiers.

1. On divise 360 par 2 : 360 = 2 × 180.
2. On divise encore par 2 : 180 = 2 × 90, puis 90 = 2 × 45.
3. On divise 45 par 3 : 45 = 3 × 15, puis 15 = 3 × 5.
4. Le dernier facteur, 5, est premier.

Les trois facteurs 2, les deux facteurs 3 et le facteur 5 se regroupent en puissances :

Le contrôle refaisable consiste à multiplier 8 × 9 × 5, ce qui donne bien 360. Une autre suite de divisions pourrait changer l'ordre d'apparition des facteurs, jamais les trois nombres premiers ni leurs exposants.

Pour décomposer un entier comme 360, on essaie d'abord les plus petits nombres premiers. Après chaque division exacte, on recommence avec le quotient obtenu jusqu'à ne conserver que des facteurs premiers.

Pour comparer deux produits, on regroupe les facteurs égaux en puissances. Si les nombres premiers et leurs exposants coïncident, les produits représentent le même entier positif, même lorsque les facteurs sont écrits dans un ordre différent.

Pour repérer les diviseurs positifs d'un entier positif, sa décomposition première sert de point de départ : chaque diviseur positif s'obtient en choisissant, pour chaque facteur premier, un exposant compris entre zéro et celui de la décomposition. Pour 360 = 2³ × 3² × 5, le choix 2² × 3 × 5 donne par exemple le diviseur positif 60.

Nombre premier et décomposition en facteurs premiers. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même ; une décomposition décrit au contraire tout entier positif à partir de facteurs premiers. Ainsi, 5 est premier, tandis que 360 ne l'est pas et se décompose en 2³ × 3² × 5.

Factorisation et factorisation première. Une factorisation quelconque écrit un nombre comme produit, par exemple 360 = 36 × 10. La factorisation première exige que chaque facteur soit premier ; 36 et 10 doivent donc encore être décomposés.

Théorème fondamental de l'arithmétique et théorème des nombres premiers. Le premier établit l'existence et l'unicité d'une décomposition. Le second concerne la présence des nombres premiers parmi les entiers ; décomposer 360 relève du premier.

Le seuil n = 1. Écrire 1 comme un produit ordinaire de nombres premiers ferait apparaître des facteurs inexistants. Le bon traitement est le produit vide, qui conserve l'unicité sans attribuer de facteur premier à 1.

Le cas 0. Le fait que 0 soit divisible par tout nombre premier ne constitue pas une factorisation en facteurs premiers. En effet, 0 n'admet aucune décomposition finie composée uniquement de facteurs premiers : il ne faut donc pas lui appliquer le théorème.

L'ordre n'est pas une différence. Les écritures 2³ × 3² × 5 et 5 × 3² × 2³ sont la même décomposition de 360. On compare les facteurs et leurs multiplicités, pas leur position.

Le changement de structure. L'unicité ne se transfère pas automatiquement à tout anneau. Elle est garantie dans les anneaux factoriels, notamment les polynômes à coefficients dans un corps commutatif ; il faut identifier les unités et les éléments irréductibles du cadre choisi.

Le glossaire nombre premier précise la nature des briques irréductibles qui apparaissent dans chaque décomposition d'entier positif.

L'entrée Factorisation replace la décomposition première dans l'opération plus générale qui consiste à transformer une expression en produit.

L'article La factorisation des grands entiers : prolonge la question lorsque l'existence est garantie, mais que trouver concrètement les facteurs devient l'enjeu.