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Peut-on prouver Dieu ? Peut-on seulement raisonner sur son existence ? Entre le pari de Pascal, l’optimisme logique de Leibniz, la métaphysique de Whitehead et le célèbre refus de Laplace d’ajouter une hypothèse inutile, ce dossier interroge les rapports tendus entre démonstration, croyance et incertitude. Les mathématiques n’y donnent pas forcément une réponse, mais elles déplacent la question avec une puissance rare.

Deux cents numéros. Ou plutôt, deux cents rendez-vous incontournables pour les amateurs de mathématiques. Deux cents occasions de se régaler de friandises géométriques, de pépites arithmétiques, de gourmandises algébriques, de délices artistiques et d'autres amuse-bouche ludiques, probabilistes, logiques et autres. Des témoignages de personnalités vous feront découvrir l'alchimie cachée qui a permis au magazine Tangente de se développer, de susciter des vocations, d'aider les enseignants, de passionner les adeptes de la culture scientifique, mais aussi faire connaître et comprendre les rouages mathématiques cachés dans d'innombrables domaines. L'histoire, l'art, la culture, la science, la littérature, le divertissement et les sujets de société sont présents depuis le numéro 1 et le seront aussi longtemps que vous serez à nos côtés !

Alexis Clairaut, mathématicien relativement méconnu du XVIIIe siècle, est pourtant remarquable à plus d’un titre. Entré à l’Académie à 18 ans, il y donne la première lecture de ses travaux sur les courbes gauches à 13 ans. On le retrouve dans l’expédition chargée de mesurer un degré de méridien en Laponie, ce qui permettra de trancher la question de la forme de la Terre, en cohérence avec les calculs de Newton. Il a d’ailleurs consacré une grande partie de ses recherches à la validation de la théorie de la gravitation, en astronomie mais aussi en hydrostatique. Très attaché à la pédagogie, qu’il exerce, entre autres, comme précepteur de la marquise du Châtelet, il rédige ses Éléments en géométrie et en algèbre. Ces derniers feront encore référence un siècle plus tard.

Avant le XIXe siècle, beaucoup de celles et ceux qui sont maintenant considérés comme des mathématicien(ne)s ne tiraient pas leurs revenus de cette activité, voire en exerçaient une autre, plus rémunératrice. Si le statut de mathématicien s’est progressivement officialisé et institutionnalisé, la pratique de la discipline attire toujours de nombreux amateurs, hommes et femmes, qui trouvent du plaisir à se plonger dans certaines questions non résolues, principalement en géométrie et en théorie des nombres. Partez à la rencontre de ces non-professionnels qui trouvent, ou qui cherchent encore, et, pourquoi pas, rejoignez la communauté des amat(h)eurs.

Il serait bien réducteur de penser que les processus itératifs ne concourent qu'à la résolution de problèmes de mathématiques ou d'informatique. L'idée d'itérer un processus fait partie de notre quotidien ! Pythagore a lui-même suivi un processus itératif (la répétition d'un intervalle, la quinte) pour construire les notes de la gamme musicale, une gamme utilisée pendant des siècles. Les liens avec la musique ne s'arrêtent pas là. Deux mille cinq cents ans plus tard, la notion d'itération s'insinue pour le plus grand bonheur de nos oreilles jusque dans les procédés modernes de composition. Musique minimaliste, nombres premiers... toutes les inspirations sont bonnes. Ces mises en abîme récursives peuvent même inspirer des écrivains et des artistes, ou être à l'origine de constructions auto-référentes particulièrement esthétiques. Décidément, même les mathématiques les plus abstraites s'invitent partout pour nous émerveiller !

Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés. Ce fut également le cas des « imaginaires », qui ont donné naissance à la notion de nombres complexes. À l'origine de leur – tardive – introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations du deuxième degré qui n'avaient pas de solution réelle. Cela a débouché sur la conception d'un ensemble puissant, possédant la structure de corps algébriquement clos, c'est-à-dire dans lequel toute équation algébrique admet une solution. Mieux, dans la mesure où les complexes peuvent être identifiés à un point du plan, une puissante correspondance entre algèbre, analyse, géométrie et trigonométrie allait naître !

S'il est souvent possible de démontrer de façon théorique l'existence d'une solution optimale à un problème donné, une forme explicite et complète de cette solution est plus difficile à obtenir en dehors de quelques cas d'école. Il faut donc se contenter d'en calculer, à l'aide d'algorithmes, une estimation. Les exemples en sont nombreux, tant dans un contexte « psychologique » (optimisation du bien-être collectif grâce au modèle de Pareto) que physique. Ainsi, quand la quantité à optimiser varie comme un fluide, on peut, avec d'ingénieuses procédures, atteindre le précieux minimum ou maximum, à condition de prendre garde à ne pas rester coincé dans une poche locale : c'est l'optimum global qui est recherché !

L’importance et l’omniprésence du numérique ont conduit à redéfinir des champs entiers des mathématiques. Alors que l’approximation traduisait jadis des limitations dans les savoirs mathématiques ou les capacités des calculateurs humains, dans l’ordinateur tout est, de fait, approché : les nombres, les images, les sons et même les fonctions, traitées comme des suites d’opérations élémentaires. Du recueil des données à leurs traitements et leurs représentations, de nombreuses techniques sont mises au point régulièrement. Certains problèmes deviennent alors cruciaux : l’encadrement de l’erreur que l’on propage d’une étape à l’autre d’un calcul, la stabilité des modèles utilisés qui doivent éviter les brusques « sauts » qualitatifs, la simplicité de mise en œuvre des algorithmes… Derrière toutes ces questions se cachent des théorèmes étudiés il y a près de deux siècles, et des méthodes prolongées et amplifiées avec le développement des technologies numériques.

Dès l’origine, l’homme a eu besoin de prévoir, et donc de mesurer. Comment évaluer la distance entre deux bâtiments, deux villes, deux montagnes, deux planètes ? Les GPS intégrés dans nos téléphones et dans nos voitures nous feraient presque oublier qu’il fut un temps (pas si éloigné) où estimer une distance relevait de la prouesse scientifique ! Cela a commencé par l’arpentage dans un environnement proche, puis on s’est intéressé à des distances inaccessibles directement, permettant de se repérer sur terre, en mer ou dans l’espace. De nouvelles techniques, s’appuyant souvent sur des mathématiques ingénieuses comme la triangulation, ont été imaginées, ainsi que toute une gamme de défis : trouver des plus courts chemins, déterminer des courbes d’équidistance, placer des points le plus régulièrement possibles sur une sphère…

Né avec le développement de l’informatique, l’art numérique a permis aux artistes, en s’appropriant algorithmes et langages de programmation, d’explorer de nouveaux champs et de « dialoguer » avec leur public via des créations abstraites. Exploitant dans un premier temps l’utilisation de motifs répétitifs, ce nouvel art s’est ouvert, au gré des opportunités technologiques, à de fructueuses et inattendues collaborations. Les mathématiques, omniprésentes, montrent une nouvelle fois qu’elles peuvent concourir à l’harmonie. Processus itératifs, simulation du hasard, exploration de nombres et de combinaisons, utilisation de l’analyse dans la musique, les artistes jouent avec ses concepts.Cette confluence est aussi l’occasion de s’interroger sur la notion même de création. L’écriture d’un programme informatique en fait-elle partie ? Et que dire des œuvres, de plus en plus nombreuses, générées par l’intelligence artificielle ?