Bases de numération complexes : compter sans le signe moins

Une fois la boîte de Pandore des nombres complexes ouverte se pose la question de l'écriture des nouveaux nombres ainsi obtenus. Pour cela, une façon originale de procéder consiste à ériger la constante $i$ comme point de départ de nouveaux systèmes de numération. Ainsi peut-on aller plus loin que les seuls nombres réels.

La numération décimale est celle que l'on utilise tous les jours dans la vie courante mais, comme on le sait, beaucoup d'autres systèmes ont été utilisés. Les plus classiques consistent à changer la base, comme dans le cas des numérations binaire (qui n'utilise que des 0 et des 1), hexadécimale (base seize) ou encore sexagésimale (base soixante). Plus généralement, de n'importe quel nombre entier plus grand que l'unité se déduit aisément une base de numération (voir encadré ci-dessous).

Toutes ces bases ont pour point commun de ne permettre d'écrire que des nombres réels positifs. D'autres systèmes ont été proposés pour aller plus loin, notamment les bases négatives qui permettent d'écrire aussi bien les nombres positifs que les nombres négatifs. Sans grande surprise, face aux nombres complexes, de nouvelles généralisations ont été cherchées.

La base $b$

Soit $b$ un entier au moins égal à 2. Écrire un nombre $n$ en base $b$ consiste à écrire une liste de chiffres entre 0 et $b - 1$ qui exprime la valeur $n$ comme une somme de puissances de $b$ , la position de chaque chiffre indiquant la puissance de $b$ concernée. Par exemple, pour $b = 8$ (système dit octal), le nombre cent s'écrit 144 (ou plutôt $[144]_{8}$ pour éviter de confondre avec la numération décimale), en vertu du fait que la somme $(1 \times 8^2) + (4 \times 8^1) + (4 \times 8^0)$ est égale à cent.

Pour écrire un nombre $x$ dans le système octal, on peut dresser un tableau des puissances de 8, on retranche la plus grande d'entre elles inférieure à $x$ autant de fois que possible, et on recommence avec le nombre ainsi obtenu. L'écriture octale de $x$ est alors la liste donnant, pour chaque puissance de 8, le nombre de fois que celle-ci a été retranchée (entre 0 et 7, donc). On peut ainsi écrire tous les nombres (ce qui peut requérir un nombre infini de chiffres lorsque $x$ n'est pas un entier). Pour la valeur cent (c'est-à-dire $[100]_{10}$ ), la plus grande puissance de 8 à retrancher est $8^{2}$ , que l'on peut retrancher une seule fois et obtenir $[100 - 64]_{10} = [36]_{10}$ . Ensuite, pour $[36]_{10}$ , on retranche quatre fois $8^{1}$ , ce qui donne $[36]_{10} - 4 \times 8^1 = 4$ . Ne reste alors qu'à retrancher quatre fois $8^{0}$ (qui vaut 1), et l'égalité $[100]_{10} = [144]_8$ s'en déduit.

Lorsque $b$ est un entier négatif, par exemple $- 4$ , on suit le même principe, à la seule différence que, à chaque étape, la puissance de $- 4$ à retrancher est parfois plus grande que le nombre, et est choisie de sorte à ce que ne soit finalement retranchée qu'au plus trois fois une même puissance de $- 4$ .

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