Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
grand nombre
Un grand nombre est ici un entier écrit en numération positionnelle de base 10 et assez élevé pour recevoir un nom fondé sur une puissance de dix. Deux conventions coexistent : l'échelle longue alterne les suffixes -illion et -illard, tandis que l'échelle courte attribue, après le million, un nom en -illion à chaque nouveau groupe de trois chiffres. Elles concordent jusqu'au million, puis divergent dès 10⁹ ; préciser la convention ou la puissance de dix évite donc les ambiguïtés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Associer million, milliard, billion et trillion à leurs puissances de dix.
- Distinguer l'échelle longue de l'échelle courte dès 10⁹.
- Traduire un nom de grand nombre en conservant sa valeur.
- Situer le googol, le googolplex et plusieurs systèmes historiques.
En clair
Imaginez un compteur affichant 1 suivi de douze zéros. On peut écrire ce nombre 1012, mais son nom dépend du système employé. En français d'Europe continentale, l'échelle longue l'appelle un billion. Dans l'échelle courte anglophone, le même nombre s'appelle un trillion.
Les deux échelles donnent encore le même nom à 106, un million. Elles se séparent dès 109 : l'échelle longue dit milliard, tandis que l'échelle courte dit billion.
Définition
Un grand nombre est ici un entier exprimé dans la numération positionnelle de base 10 et assez élevé pour recevoir un nom construit à partir de puissances de dix. Les noms usuels reposent sur des groupes de trois chiffres, mais deux conventions coexistent.
Dans l'échelle longue, utilisée dans la plupart des pays d'Europe continentale, les terminaisons -illion et -illard alternent : 106 est un million, 109 un milliard, 1012 un billion et 1015 un billiard. Dans l'échelle courte, utilisée aux États-Unis, au Royaume-Uni et dans certains pays anglophones, chaque nouveau groupe de 103 reçoit, après le million, un nom en -illion : 109 est un billion et 1012 un trillion. Les conventions concordent jusqu'au million inclus, puis divergent.
Certains nombres ont aussi un nom particulier. Le googol vaut 10100, soit 1 suivi de 100 zéros. Le googolplex est 10 élevé à la puissance googol. Ces noms particuliers ne suppriment pas la nécessité d'indiquer la convention lorsqu'un terme comme billion peut changer de valeur.
Un exemple, pas à pas
Un document anglophone donne la valeur « 1 trillion ». On veut la traduire sans changer le nombre. Les données sont les suivantes : le document emploie l'échelle courte ; un trillion court vaut 1012 ; l'échelle longue française nomme 1012 un billion.
1. Repérer la convention du document : l'échelle courte.
2. Remplacer le nom par sa valeur : 1 trillion = 1012.
3. Chercher le nom de cette même valeur dans l'échelle longue : 1012 = 1 billion.
4. Écrire la traduction : « 1 billion », et non « 1 trillion ».
2. Remplacer le nom par sa valeur : 1 trillion = 1012.
3. Chercher le nom de cette même valeur dans l'échelle longue : 1012 = 1 billion.
4. Écrire la traduction : « 1 billion », et non « 1 trillion ».
Le contrôle consiste à revenir à l'écriture décimale : les deux expressions représentent exactement 1 000 000 000 000 dans les deux conventions, sans dépendre du nom choisi. Le schéma récapitule les deux premiers rangs où les noms diffèrent.
En pratique
Dans un texte rédigé en français d'Europe continentale, on emploie l'échelle longue : 109 se lit milliard et 1012 billion. Si le public ou la convention éditoriale n'est pas identifiable, l'écriture en puissance de dix évite l'ambiguïté.
Pour traduire un document anglophone, on ne remplace pas un nom par son homonyme. On relève d'abord la valeur ou le nombre de zéros, puis on choisit le nom correspondant dans la convention d'arrivée.
Face à un nombre exceptionnel comme le googol, le nom propre est utile si le lecteur le connaît. Sinon, 10100 et la précision « 1 suivi de 100 zéros » donnent un repère directement vérifiable.
À ne pas confondre
Grand nombre et loi des grands nombres. Le critère est le sujet traité : cette fiche nomme des puissances de dix, tandis que l'expression « loi des grands nombres » désigne une notion distincte. La présence de mots comme million, milliard, billion ou googol indique qu'il est ici question de dénomination.
Limites et pièges
Le seuil de divergence. Jusqu'à 106, les deux échelles disent million. À partir de 109, un même nom peut renvoyer à des valeurs différentes. Le symptôme est un mot comme billion sans indication de pays, de langue ou de convention ; il faut alors demander la valeur en chiffres ou en puissance de dix.
La traduction mot à mot. Un billion de l'échelle courte vaut 109, alors qu'un billion de l'échelle longue vaut 1012. Conserver le mot au lieu de conserver la valeur multiplie ou divise le résultat par 1 000.
Les systèmes non usuels. Les constructions historiques ou proposées ne suivent pas nécessairement les deux échelles actuelles. Le groupement par six chiffres de Nicolas Chuquet, puis les prolongements de John Conway et Allan Wechsler, le système gillion de Russ Rowlett et le système myriade de Donald Knuth doivent être nommés avant d'interpréter leurs termes.
Pour aller plus loin
L'histoire des grands nombres montre que leur écriture ne suffit pas à fixer leur vocabulaire. Archimède construit un système dans l'Arénaire. Nicolas Chuquet groupe ensuite les chiffres par six dans le Triparty en la science des nombres, système prolongé par John Conway et Allan Wechsler.
Les propositions gillion de Russ Rowlett et myriade de Donald Knuth offrent d'autres pistes de dénomination. Les comparer aux échelles longue et courte revient à examiner deux choix séparés : la taille des groupes de chiffres et la règle qui produit le nom de chaque rang.
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