Entiers de Gauss : l'arithmétique nouvelle génération

Une fois acquise la solidité mathématique du « nouveau nombre » qu'est le nombre $ii$ défini par l'égalité $i^2=-1i^2\; =\; -1$, il reste à savoir comment il se mélange aux autres nombres. La manière la plus courante de faire consiste à définir le produit de $ii$ par un réel, et la somme du résultat avec un autre réel. On obtient ainsi un ensemble de nombres de la forme $x+yix\; +\; yi$ (où $xx$ et $yy$ sont deux réels), dont on sait montrer qu'ils suffisent pour décrire tous les nombres que l'on peut atteindre à l'aide des quatre opérations usuelles (somme, produit, différence et quotient) : voilà donc l'ensemble des nombres complexes, ce joyau de l'algèbre.

Et l'arithmétique, dans tout ça ? Déjà noyés dans les nombres réels, les nombres entiers sur lesquels on travaille en termes de divisibilité, de nombres premiers ou de facteurs communs semblent bien loin. C'est sans compter sur Carl Gauss, dont les travaux ont notamment concerné aussi bien l'arithmétique que les nombres complexes au ${\text{xix}}^{\text{e}}\backslash text\{xix\}^\backslash text\{e\}$ siècle, et qui a eu l'idée étonnante de marier les deux en s'intéressant à des nombres complexes d'une forme particulière, aujourd'hui appelés les entiers de Gauss.

Un entier de Gauss, c'est un nombre complexe que l'on construit uniquement avec des entiers et le nombre $ii$. Autrement dit, un nombre de la forme $a+bia\; +\; bi$ dans lequel, contrairement à nos nombres complexes $x+yix\; +\; yi$ vus plus haut, $aa$ et $bb$ sont contraints à être eux-mêmes des nombres entiers. Bien sûr, nos bons vieux entiers habituels 1, 2, 3, etc. (et leurs opposés) peuvent être vus comme des exemples d'entiers de Gauss (égaux à $1+0i1\; +\; 0i$, $2+0i2\; +\; 0i$, et ainsi de suite), mais cette fois, ils doivent partager la vedette avec les entiers imaginaires ($ii$, $2i2i$, $3i3i$, ainsi que $-i-i$, $-2i-2i$, $-3i-3i$…), ainsi qu'avec d'autres nouveaux venus tels que $1+2i1\; +\; 2i$, ou $-3+4i-3\; +\; 4i$, ou encore $2-5i2\; -\; 5i$, et ainsi de suite.

De même que les entiers se représentent fort bien sous la forme d'une suite de points également espacés les uns des autres sur une ligne droite, les entiers de Gauss se visualisent avec des points du plan formant un réseau carré, l'entier $a+bia\; +\; bi$ correspondant au point du plan de coordonnées $(a,b)(a,\; b)$.