Pourquoi i puissance i est-il un nombre bien réel ?

Donnons-nous un nombre $xx$ ainsi qu'un entier naturel $nn$ et considérons l'expression $(1+x\mathrm{/}n{)}^n(1\; +\; x/n)^n$. Vers quoi s'approche cette expression quand $nn$ tend vers l'infini ? Un résultat fondamental de l'analyse, que l'on doit à l'inévitable Euler, indique que la réponse est $e^{x}e^x$, où $ee$ est la base des logarithmes népériens (qui vaut environ 2,718). Ce qui est une propriété pour un nombre réel $xx$ peut alors être pris comme définition pour le nombre $ii$. Après tout, on sait qu'on peut le multiplier et l'ajouter à d'autres nombres, donc il est tout à fait possible de calculer $(1+i\mathrm{/}n{)}^n(1\; +\; i/n)^n$ pour n'importe quel entier positif $nn$. Il est un peu moins simple de s'assurer que cette expression aussi a une limite quand $nn$ tend vers l'infini, mais tel est bien le cas. Notons alors $e^{i}e^i$ cette limite. Pour que cette notation soit légitime il convient de démontrer les propriétés que l'on attend d'une exponentiation (par exemple l'équivalent de la formule $a^b{a}^c=a^{b+c}a^b\; a^c\; =\; a^\{b+c\}$). Une fois ce travail fait, voilà définie la puissance $ii$-ième de $ee$.

Beaucoup de choses sont à explorer à partir de cette définition initiale de la puissance $ii$-ième et de ses possibles généralisations. En travaillant un peu sur la notion d'exponentiation complexe, on peut démontrer l'égalité suivante : $e^{\pi i}+1=0e^\{\backslash pi\; i\}\; +\; 1\; =\; 0$.

Dans les années 1990, un sondage mené dans la communauté des mathématiciens a élu cette égalité « plus belle formule des mathématiques ». Un tel titre n'est pas usurpé, tant cette égalité rassemble d'une façon extraordinairement compacte tout ce que les mathématiques contiennent de plus fondamental : le 0 et le 1, point de départ de l'arithmétique ; le nombre $\pi \backslash pi$, constante fondamentale de la géométrie ; le nombre $ee$, constante fondamentale de l'analyse ; et enfin le nombre $ii$, constante fondamentale de l'algèbre. La formule met aussi en scène les opérations de base des mathématiques : somme, produit, exponentiation.