nombre e

Placez une unité de départ dans un modèle qui ajoute 100 % en un an. Un seul ajout donne 2. Si l'ajout est partagé en deux, quatre ou douze étapes, le résultat augmente encore.

En multipliant les étapes tout en réduisant chaque ajout, les résultats se rapprochent de 2,71828 : le nombre e. Cette constante apparaît naturellement lorsqu'une variation est continuellement proportionnelle à la quantité déjà présente.

Le nombre e, aussi nommé nombre d'Euler ou constante de Neper, est le réel positif qui sert de base au logarithme naturel. Il vérifie ln(e) = 1 et vaut approximativement 2,71828. La lettre e, choisie par Euler comme initiale d'« exponentielle », désigne donc une constante et non une variable.

Ces définitions empruntent des chemins différents, mais elles désignent toutes le même nombre e. La série additionne des inverses de factorielles, le produit combine des nombres premiers et l'intégrale repère e par l'aire sous la courbe de 1/t. Lorsque l'entier n grandit sans borne, la suite ${(1+\frac{1}{n})}^n\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)^n$ tend vers e. La somme des inverses des factorielles donne aussi $e={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}e=\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n!\}$. Si les nombres p_i sont tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n, alors la racine n-ième de leur produit tend également vers e. Enfin, e est l'unique réel positif a pour lequel l'intégrale de 1/t entre 1 et a vaut 1.

Parmi toutes les bases positives, e est l'unique base a telle que la dérivée de la fonction x ↦ a^x soit encore x ↦ a^x. Euler a démontré son irrationalité en 1737, puis Hermite sa transcendance en 1873. La première propriété exclut toute écriture comme quotient d'entiers ; la seconde est plus forte et exclut e comme racine d'un polynôme non nul à coefficients entiers. Euler connaissait 18 décimales de e en 1748 ; les calculs modernes en ont établi des milliers de milliards.

Une quantité initiale de 1 reçoit une hausse totale de 100 %, répartie en n étapes égales. Les données sont la valeur initiale 1, le taux total 1, et les nombres d'étapes n = 1, 2, 4 puis 12. À chaque étape, la quantité est multipliée par 1 + 1/n.

1. Pour une étape : ${(1+\frac{1}{1})}^1=2\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{1\}\backslash right)^1=2$.
2. Pour deux étapes : ${(1+\frac{1}{2})}^2=\mathrm{2,25}\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^2=2\{,\}25$.
3. Pour quatre étapes : ${(1+\frac{1}{4})}^4=\mathrm{2,44140625}\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash right)^4=2\{,\}44140625$.
4. Pour douze étapes : ${(1+\frac{1}{12})}^{12}\approx \mathrm{2,61304}\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{12\}\backslash right)^\{12\}\backslash approx2\{,\}61304$.

Le résultat augmente de 2 à environ 2,61304 unités et se rapproche de e ≈ 2,71828 unités. Le schéma rend visible ce rapprochement. Pour contrôler le calcul, refaites chaque puissance : chaque nouvelle valeur doit rester inférieure à 2,71828 tout en dépassant la précédente.

Pour modéliser une quantité dont la variation instantanée égale la quantité présente, on emploie l'exponentielle de base e. Une autre base convient lorsque le facteur de multiplication est fixé autrement ; le critère est l'égalité entre la fonction et sa dérivée.

Pour retrouver un exposant dans une puissance de e, on utilise le logarithme naturel. Un logarithme d'une autre base est préférable lorsque cette autre base structure déjà les données ; avec e, le repère vérifiable est ln(e) = 1.

Pour estimer une factorielle lorsque son indice devient grand, la formule de Stirling fait intervenir e. Pour un petit entier exigeant une valeur exacte, le produit 1 × 2 × ⋯ × n reste le calcul à effectuer.

Le nombre e et le nombre π. Ce sont deux constantes distinctes. Le critère décisif est leur rôle : e est la base du logarithme naturel, tandis que π apparaît avec l'unité imaginaire i dans l'identité $e^{i\pi }+1=0e^\{i\backslash pi\}+1=0$. Cette même formule les relie sans les identifier et réunit les cinq constantes fondamentales de l'analyse.

Irrationnel et transcendant. Un nombre irrationnel n'est pas un quotient de deux entiers. Un nombre transcendant n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers. Le cas de e tranche : Euler a démontré son irrationalité en 1737 et Hermite sa transcendance, propriété plus forte, en 1873.

Une étape finie ne donne pas e. Pour n = 12, la suite vaut environ 2,61304, et non 2,71828. Le symptôme est un signe égal placé entre une valeur finie de ${(1+\frac{1}{n})}^n\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)^n$ et e. Il faut écrire une approximation ou faire tendre n vers l'infini.

2,71828 n'est qu'un arrondi. Puisque e est irrationnel, son développement décimal ne s'arrête pas. Un calcul qui exige davantage de précision ne doit pas remplacer trop tôt e par cinq décimales ; il faut conserver le symbole e jusqu'à l'arrondi final.

L'unicité concerne la base. L'affirmation sur la dérivée compare les fonctions x ↦ a^x pour différentes bases positives a. Des multiples de e^x sont eux aussi égaux à leur dérivée, mais ils ne définissent pas une nouvelle base.

Le produit sur les nombres premiers est une limite. Les facteurs p_i doivent être exactement les nombres premiers inférieurs ou égaux à n, puis leur produit reçoit l'exposant 1/n. Omettre un facteur ou lire i comme une borne indépendante de n change la suite.

formule de Stirling — Voyez comment e intervient dans l'approximation des factorielles.

formule d'Euler — Prolongez le lien entre e, π et l'unité imaginaire.

nombre transcendant — Situez la propriété démontrée pour e par Hermite en 1873.