AnalyseFormule · Glossaire
formule d'Euler
La formule d'Euler est l'identité fondamentale eⁱˣ = cos x + i sin x, valable pour tout réel x, qui relie la fonction exponentielle complexe aux fonctions trigonométriques réelles. Elle établit un pont remarquable entre l'analyse complexe et la trigonométrie. Elle permet d'exprimer les fonctions cosinus et sinus sous forme exponentielle : cos x = (eⁱˣ + e⁻ⁱˣ)/2 et sin x = (eⁱˣ − e⁻ⁱˣ)/2. La formule de Moivre permet de calculer directement les puissances entières du nombre complexe cos x + i sin x : (cos x + i sin x)ⁿ = cos(nx) + i sin(nx). Pour linéariser les puissances isolées cosⁿx et sinⁿx ou traiter leurs produits, on peut les réécrire sous forme exponentielle. Le cas particulier x = π donne l'identité eⁱπ + 1 = 0, souvent célébrée pour sa concision. Euler a contribué à populariser et formaliser cette relation, bien que sa démonstration rigoureuse ait été précisée ultérieurement.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire le cosinus et le sinus dans l'exponentielle eⁱˣ.
- Calculer e à la puissance iπ/3 et contrôler le résultat sur le cercle unité.
- Retrouver les formes exponentielles du cosinus et du sinus.
- Distinguer formule d'Euler, identité d'Euler et formule de Moivre.
- Éviter les erreurs de radians, de facteur i et de dénominateur dans la formule du sinus.
En clair
Imaginez un point qui parcourt le cercle de rayon 1. Pour un angle donné, sa position se lit avec deux nombres : le cosinus sur l'axe horizontal et le sinus sur l'axe vertical. La formule d'Euler rassemble ces deux coordonnées dans un seul nombre complexe.
Avec un angle d'un tiers de demi-tour, noté π/3 et égal à 60°, le point a pour coordonnées 1/2 et √3/2. La lettre i désigne le nombre complexe dont le carré vaut −1. Le nombre associé est donc 1/2 + i√3/2 : c'est la valeur de l'exponentielle complexe pour cet angle.
Définition
La formule d'Euler relie l'exponentielle complexe aux fonctions trigonométriques. Le symbole i désigne le nombre complexe dont le carré vaut −1, et x désigne un nombre réel. La relation s'écrit : . Sa partie réelle est le cosinus de x et le coefficient de i est le sinus de x.
En utilisant aussi l'angle opposé −x, on isole les deux fonctions : . Ces formes exponentielles facilitent les calculs de puissances et de produits trigonométriques, notamment leur linéarisation.
Pour un entier n, la formule de Moivre prolonge ce mécanisme : . Le choix x = π donne le cas particulier . Euler a contribué à populariser et à formaliser cette relation, dont la démonstration rigoureuse a été précisée ultérieurement.
Le principe
Soit x un nombre réel et soit i le nombre complexe vérifiant i2 = −1. Alors l'exponentielle de l'imaginaire pur ix vérifie :
Le cosinus fournit la partie réelle du résultat, tandis que le sinus fournit le coefficient de i. La formule transforme ainsi une exponentielle complexe en deux valeurs trigonométriques du même angle.
Quand l'utiliser
La lettre x désigne un angle réel, et i désigne le nombre complexe dont le carré vaut −1. Le facteur i doit multiplier tout l'angle dans l'exposant. Le cosinus et le sinus portent exactement le même argument x. Ces conditions donnent deux composantes trigonométriques réelles.
Un angle exprimé en degrés doit d'abord être converti en radians : 60° devient π/3. Écrire directement x = 60 ne représente pas le même angle dans cette formule. Pour la formule de Moivre présentée ici, la puissance n est un entier.
Le contre-cas e2 n'a pas un exposant imaginaire pur de la forme ix. On utilise alors l'exponentielle réelle ordinaire, et non l'écriture cos x + i sin x avec x = 2.
Un exemple, pas à pas
Calculons l'exponentielle complexe associée à un tiers de demi-tour.
Données :
L'angle vaut x = π/3 radians, soit 60°.
Le cosinus de π/3 vaut 1/2.
Le sinus de π/3 vaut √3/2.
Le symbole i vérifie i2 = −1.
Données :
L'angle vaut x = π/3 radians, soit 60°.
Le cosinus de π/3 vaut 1/2.
Le sinus de π/3 vaut √3/2.
Le symbole i vérifie i2 = −1.
1. On remplace x par π/3 dans la formule : .
2. On substitue les deux valeurs trigonométriques annoncées : .
3. Le résultat se lit comme le point du cercle unité ayant pour coordonnée horizontale 1/2 et pour coordonnée verticale √3/2. La figure rend visibles l'angle et ces deux projections.
4. Le contrôle consiste à recalculer la distance à l'origine : . Le point appartient bien au cercle de rayon 1.
La formule condense donc les deux coordonnées trigonométriques de l'angle π/3 dans le nombre complexe 1/2 + i√3/2.
En pratique
Pour transformer une expression trigonométrique d'angle réel x, on remplace cos x et sin x par leurs formes exponentielles complexes. Ce choix est utile lorsque des puissances ou des produits doivent être développés puis linéarisés.
La lettre i désigne ici le nombre complexe dont le carré vaut −1. Pour calculer une puissance de cos x + i sin x, la formule de Moivre évite une multiplication répétée : elle multiplie l'angle par l'exposant entier.
Pour lire une exponentielle eix, on identifie immédiatement le cosinus dans sa partie réelle et le sinus dans le coefficient de i. À x = π, cette lecture conduit à eiπ + 1 = 0.
À ne pas confondre
Formule d'Euler et identité d'Euler. Dans la formule générale, la lettre x désigne un réel. L'identité eiπ + 1 = 0 est seulement le cas obtenu lorsque x = π.
Formule d'Euler et formule de Moivre. La première transforme eix en cos x + i sin x. La seconde traite une puissance entière et remplace l'angle x par nx.
Exponentielle complexe et exponentielle réelle. Dans eix, l'exposant contient i et le résultat possède deux composantes. Dans ex avec x réel, ce facteur imaginaire est absent.
Limites et pièges
Degrés introduits sans conversion. Le symptôme est un résultat qui ne correspond pas au point attendu sur le cercle. Il faut convertir l'angle : le cas charnière 60° s'écrit π/3 radians.
Oubli du facteur i. Pour un angle réel noté x, remplacer eix par ex change l'exposant et détruit la décomposition en cos x et i sin x. Il faut vérifier que i, dont le carré vaut −1, figure dans l'exposant.
Sinus isolé sans division par i. La soustraction eix − e−ix vaut 2i sin x. Pour obtenir sin x, le dénominateur correct est donc 2i, et non 2.
Cas particulier pris pour l'énoncé complet. L'égalité eiπ + 1 = 0 ne décrit que x = π. Pour un autre réel, il faut revenir à eix = cos x + i sin x.
Pour aller plus loin
formule de Moivre — Approfondit le calcul des puissances entières en faisant passer l'exposant sur l'angle.
fonction exponentielle complexe — Replace la formule d'Euler dans l'étude plus large de l'exponentielle sur les nombres complexes.
cercle trigonométrique — Rend géométrique la lecture du cosinus et du sinus comme coordonnées d'un même point.
À la poursuite de la formule d'Euler — Prolonge l'exploration de cette relation centrale dans un article entièrement consacré à la formule.
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