Moivre Abraham de

En 1688, Abraham de Moivre quitte la France pour l’Angleterre après les persécutions religieuses subies par sa famille protestante. Il y gagne sa vie par des cours particuliers, faute de poste académique.

Ce parcours d’exilé conduit pourtant au cœur des mathématiques de son temps. De Moivre relie les angles aux nombres complexes, organise le calcul des chances et travaille sur la mortalité et les annuités. Son nom reste attaché à plusieurs outils devenus fondamentaux.

Abraham de Moivre est un mathématicien français né en 1667 et mort en 1754. Formé à Sedan, Saumur et Paris, il découvre le traité de probabilités de Christiaan Huygens. Après la révocation de l’Édit de Nantes en 1685 et les persécutions visant sa famille protestante, il émigre en Angleterre en 1688. Il y vit surtout de cours particuliers.

Lecteur des Principia Mathematica, il se lie à Edmond Halley, Newton et Leibniz. Un article sur les fluxions, communiqué par Halley en 1695, précède son élection à la Royal Society en 1697. Cette société lui confie en 1710 l’arbitrage de la querelle de priorité entre Newton et Leibniz. Sa condition d’immigré l’empêche néanmoins d’obtenir un poste académique en Angleterre ou en Allemagne. L’Académie des sciences de Paris l’élit membre étranger en 1754.

Ses travaux portent sur la géométrie analytique et surtout les probabilités. Doctrine of Chances, publié en 1718 dans le prolongement de Montmort, introduit le théorème des probabilités conditionnelles et la première définition formelle de l’indépendance statistique. Avec Halley, de Moivre contribue aux statistiques de mortalité et à la théorie des annuités. Dans Miscellanea Analytica en 1730, il donne un équivalent asymptotique de la factorielle à l’origine de la formule de Stirling. La première apparition de la loi normale lui est également attribuée. Sa formule de 1707 relie enfin trigonométrie et nombres complexes. Pour un réel nommé x, un entier nommé n et l’unité imaginaire nommée i, elle s’écrit $(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)(\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x)^n=\backslash cos(nx)+i\backslash sin(nx)$.

On rencontre Abraham de Moivre dans l’histoire des mathématiques des XVII^e et XVIII^e siècles, entre la France et l’Angleterre. Quatre repères permettent de le situer : l’exil de 1688, la Royal Society, Doctrine of Chances en 1718 et Miscellanea Analytica en 1730.

Son nom apparaît aujourd’hui près de la formule de Moivre, des probabilités conditionnelles, de l’indépendance statistique, de la loi normale et de la formule de Stirling. Ces traces ne forment pas une seule découverte : elles signalent plusieurs contributions à l’analyse et au calcul des probabilités.

La formule de Moivre se lit comme une règle de transformation d’un nombre complexe placé sur le cercle unité. Le réel x désigne son angle, l’entier n la puissance appliquée et i l’unité imaginaire.

1. On repère l’angle x dans l’écriture cos(x) + i·sin(x).
2. On multiplie cet angle par l’entier n.
3. On conserve la même forme trigonométrique avec l’angle nx.
4. On lit les parties réelle et imaginaire comme cos(nx) et sin(nx).

La convention essentielle est que x est exprimé dans une même unité angulaire des deux côtés, habituellement en radians. Une lecture trop rapide peut faire croire qu’il faut élever séparément cos(x) et sin(x) à la puissance n. Le bon réflexe consiste à multiplier l’angle, car la puissance porte sur tout le nombre complexe.

Prenons un nombre complexe du cercle unité dont l’angle vaut x = π/6 radians, puis élevons-le à la puissance entière n = 3. L’unité imaginaire est notée i.

Données : x = π/6 ; n = 3 ; cos(π/6) = √3/2 ; sin(π/6) = 1/2.

1. Le nombre de départ est $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}z=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}+\backslash frac\{i\}\{2\}$.
2. La formule remplace l’angle x par l’angle nx.
3. Le nouvel angle vaut exactement 3 × π/6 = π/2.
4. On obtient alors :

Le résultat est donc le nombre complexe i, d’angle π/2 radians. La représentation sur le cercle unité rend visible le passage exact de 30° à 90° lorsque l’angle est multiplié par 3.

Le contrôle se refait par multiplication directe : le cube de √3/2 + i/2 a une partie réelle nulle et une partie imaginaire égale à 1. Il coïncide donc bien avec i.

Pour calculer une puissance entière d’un nombre complexe déjà écrit avec un cosinus et un sinus, la formule de Moivre transforme la puissance en multiplication de l’angle. Un développement algébrique reste préférable si le nombre n’est pas sous cette forme et que sa conversion compliquerait le calcul.

En probabilités, Doctrine of Chances sert de repère historique pour les probabilités conditionnelles et l’indépendance statistique. Pour appliquer ces notions aujourd’hui, on utilise leur formulation mathématique plutôt que la seule attribution historique.

Dans l’histoire du calcul actuariel, les travaux menés avec Halley relient statistiques de mortalité et annuités. Lorsque la question porte sur une valeur financière actuelle, un modèle actuariel complet est nécessaire ; le nom de de Moivre situe l’origine d’une partie de cette histoire.

Abraham de Moivre et la formule de Moivre. Le premier est une personne ; la seconde est une identité mathématique particulière. Une date biographique ou Doctrine of Chances renvoie au savant, tandis qu’une puissance de cos(x) + i·sin(x) renvoie à la formule.

Formule de Moivre et formule de Stirling. La première relie nombres complexes et trigonométrie. La seconde concerne le comportement asymptotique de la factorielle et provient d’un résultat présenté dans Miscellanea Analytica. Le type d’expression suffit donc à les distinguer.

Loi normale et indépendance statistique. Ce sont deux contributions distinctes associées à l’histoire des probabilités chez de Moivre. La présence d’une courbe ou d’une loi ne suffit pas à conclure à l’indépendance ; celle-ci décrit une relation entre événements ou variables.

La formule donnée dans la source suppose un angle réel x et une puissance entière n. Si l’exposant n’est pas entier, cette écriture ne suffit plus à elle seule : les puissances complexes demandent des conventions supplémentaires.

L’équivalent asymptotique de la factorielle n’est pas une égalité exacte pour chaque entier. Son intérêt apparaît lorsque l’entier grandit ; le signe ≈ ou une formulation asymptotique doit remplacer le signe = dans une approximation numérique.

La première apparition de la loi normale est attribuée à de Moivre dans la source. Le verbe « attribuer » signale une nuance historique : il ne faut pas transformer cette mention en affirmation plus précise sur une date ou un texte qui ne sont pas fournis.

Enfin, réduire de Moivre à sa formule trigonométrique masque l’essentiel de son travail en probabilités, sur la mortalité et sur les annuités. Pour identifier la contribution concernée, il faut regarder le domaine et l’ouvrage cités.

La fiche formule de Moivre approfondit l’identité qui transforme une puissance complexe en multiplication d’un angle.

La fiche formule de Stirling prolonge le résultat asymptotique sur la factorielle issu de Miscellanea Analytica.