AnalyseFormule · Glossaire
formule de Stirling
Formule donnant un équivalent asymptotique de la factorielle n! lorsque n tend vers l'infini. Elle a d'abord été établie par Abraham de Moivre sous la forme n! ∼ C · n^(n+1/2) · e^(−n), où C est une constante réelle non nulle. James Stirling a ensuite précisé la valeur de cette constante, aboutissant à la formule portant son nom : n! ∼ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Cette approximation est d'un usage courant en combinatoire, en probabilités et en analyse, notamment pour estimer des coefficients binomiaux ou des intégrales de grande dimension.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter correctement le symbole d'équivalence asymptotique.
- Appliquer la formule à 10! et contrôler l'erreur relative.
- Choisir entre calcul exact, approximation directe et calcul logarithmique.
En clair
Multiplier tous les entiers de 1 à 10 donne 10! = 3 628 800. Pour un entier beaucoup plus grand, ce produit devient vite encombrant. La formule de Stirling le remplace par une expression plus maniable, construite avec cet entier, le nombre π et le nombre e.
Elle ne donne généralement pas la valeur exacte : elle en donne une estimation dont l'écart relatif se réduit quand l'entier grandit. Pour 10!, elle fournit environ 3 598 696, à moins de 1 % de la valeur exacte.
Définition
La formule de Stirling est un équivalent asymptotique de la factorielle. Pour un entier positif n, la factorielle n! est le produit des entiers de 1 à n. Dire que deux expressions sont équivalentes signifie ici que leur quotient tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.
En notant π le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre et e la base des logarithmes naturels, la relation s'écrit :
Elle compare donc n! à une expression qui possède la même croissance dominante.
Abraham de Moivre avait obtenu la forme C · nn+1/2 · e−n, avec une constante réelle C non nulle. La détermination C = √(2π), attribuée ensuite à James Stirling, conduit à la forme usuelle. L'équivalence décrit un comportement à l'infini ; elle n'affirme pas une égalité pour chaque entier.
Le principe
Soit n un entier positif. Lorsque n tend vers l'infini, le quotient de n! par son approximation de Stirling tend vers 1 :
Pour estimer n!, on calcule donc √(2πn), puis (n/e)n, et on multiplie ces deux quantités.
Quand l'utiliser
La forme usuelle s'applique à la factorielle d'un entier positif n et décrit le régime où n devient grand. Il faut connaître n et accepter une approximation : le résultat visé est un ordre de grandeur précis, pas nécessairement un entier ni la valeur exacte.
Trois contrôles sont immédiats : n doit être dans le domaine de la factorielle considéré, les puissances portent bien sur n, et le facteur √(2πn) ne doit pas être oublié. Pour n = 1, la formule donne environ 0,922 au lieu de 1 : si un petit entier exige une valeur exacte, le produit 1 × 2 × … × n est préférable.
Un exemple, pas à pas
On veut estimer 10!. Les données sont n = 10, π ≈ 3,14159 et e ≈ 2,71828. La valeur exacte, conservée pour le contrôle final, est 10! = 3 628 800.
1. Le facteur de gauche vaut √(2π × 10) ≈ 7,92665.
2. Le rapport 10/e vaut environ 3,67879.
3. Sa dixième puissance vaut (10/e)10 ≈ 453 999,3.
4. Le produit donne √(20π) × (10/e)10 ≈ 3 598 696.
2. Le rapport 10/e vaut environ 3,67879.
3. Sa dixième puissance vaut (10/e)10 ≈ 453 999,3.
4. Le produit donne √(20π) × (10/e)10 ≈ 3 598 696.
L'approximation est donc inférieure à la valeur exacte d'environ 30 104. Le contrôle relatif donne (3 598 696 − 3 628 800) / 3 628 800 ≈ −0,83 %. Le rapport entre l'approximation et 10! vaut environ 0,9917, déjà proche de 1. La figure rend visible ce rapprochement pour quatre valeurs de n.
En pratique
En combinatoire, une factorielle apparaît dans le comptage des arrangements et dans les coefficients binomiaux. Quand les entiers sont modestes, le calcul exact convient ; quand ils deviennent grands, Stirling donne rapidement l'échelle du résultat.
En probabilités, des quotients de factorielles peuvent être remplacés par leurs équivalents afin de faire apparaître leur comportement dominant. Si une probabilité numérique exacte est requise pour de petites valeurs, le quotient exact reste préférable.
En analyse, la formule aide à estimer des expressions contenant n! et certaines intégrales de grande dimension. Pour éviter des nombres trop grands en calcul numérique, on travaille souvent sur le logarithme de l'approximation, ce qui transforme produits et puissances en sommes.
À ne pas confondre
Une égalité exacte fournit la même valeur pour chaque n de son domaine. La formule de Stirling est une équivalence : pour n = 10, elle donne environ 3 598 696, et non exactement 3 628 800.
Une égalité asymptotique avec un terme d'erreur précise davantage l'écart à une taille donnée. L'écriture n! ∼ √(2πn)(n/e)n garantit seulement que le quotient tend vers 1 ; elle ne chiffre pas à elle seule l'erreur pour un n fixé.
La fonction gamma prolonge la factorielle au-delà des seuls entiers, tandis que la formule présentée ici estime n! lorsque l'entier n grandit. Pour une valeur non entière, il faut d'abord employer la fonction gamma, pas interpréter directement n! comme un produit fini.
Limites et pièges
Pour un petit entier, l'erreur relative peut rester visible. À n = 1, l'approximation vaut environ 0,922 au lieu de 1. Le symptôme est un rapport encore éloigné de 1 ; il faut alors calculer la factorielle exactement si la précision demandée l'exige.
Le symbole ∼ ne signifie ni « presque égal pour tout n » ni « différence tendant vers zéro ». Ici, c'est le quotient qui tend vers 1, alors que les deux quantités deviennent très grandes. Le bon contrôle consiste donc à examiner un rapport ou une erreur relative.
Une saisie directe de (n/e)n peut dépasser la capacité d'un logiciel pour de très grands n. Ce dépassement ne réfute pas la formule : il signale un problème de représentation numérique. Il faut alors calculer le logarithme de l'approximation plutôt que la valeur elle-même.
Pour aller plus loin
Les équivalents, un outil pour le calcul des limites — Pour replacer le symbole ∼ dans la méthode générale de comparaison des comportements asymptotiques.
fonction gamma — Pour prolonger la factorielle au-delà des entiers et situer Stirling dans un cadre plus large.
Cheminement combinatoire — Pour rencontrer les factorielles dans un contexte de dénombrement et relier l'approximation à des objets combinatoires.
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