AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction factorielle
La fonction factorielle simple est la fonction de ℕ dans ℕ qui à tout entier naturel n associe le produit de tous les entiers de 1 à n, noté n! et défini par n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1, avec la convention 0! = 1. Elle intervient fondamentalement en combinatoire, notamment dans le calcul des arrangements et des combinaisons. La croissance de n! est super-exponentielle ; la formule de Stirling en donne l'équivalent asymptotique : n! ~ √(2πn) (n/e)ⁿ. La fonction factorielle généralisée est la fonction gamma Γ, qui prolonge la factorielle aux réels et aux complexes où elle est définie via la relation Γ(n+1) = n! pour tout entier naturel n ; elle possède des pôles en 0, −1, −2, …
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la notation n! et calculer une factorielle par produit décroissant.
- Relier n! au nombre d’ordres possibles de n objets distincts.
- Choisir entre factorielle, arrangement et combinaison selon le rôle de l’ordre.
- Interpréter correctement 0!, la relation avec gamma et l’équivalent de Stirling.
En clair
Posez cinq livres différents sur une étagère. Pour choisir le premier, cinq possibilités s’offrent à vous ; une fois ce livre placé, il en reste quatre, puis trois, deux et un. Chaque ordre final correspond à une suite de choix différente.
La factorielle rassemble ce comptage en une écriture courte : 5! se lit « factorielle de 5 » et vaut 5 × 4 × 3 × 2 × 1, soit 120. Elle compte ainsi toutes les façons d’ordonner cinq objets distincts.
Définition
L’ensemble des entiers naturels est noté ℕ. Pour un entier naturel n, la fonction factorielle associe le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n. Ce produit se note n!, qui se lit « factorielle de n », et s’écrit . La convention 0! = 1 complète la définition.
Pour tout entier naturel n au moins égal à 1, le premier facteur peut être séparé des suivants : . Cette relation permet un calcul de proche en proche. En combinatoire, n! compte les permutations de n objets distincts. Les arrangements et les combinaisons emploient aussi des quotients de factorielles lorsque l’on choisit seulement une partie des objets.
La suite des valeurs n! croît plus vite que toute exponentielle de base fixe ; cette croissance est dite super-exponentielle. La formule de Stirling en fournit un équivalent asymptotique. La fonction gamma, notée par la lettre grecque majuscule Γ, prolonge la factorielle au-delà des entiers naturels et vérifie, pour tout entier naturel n, .
De quoi c'est fait
La fonction factorielle repose sur cinq éléments liés. L’entrée est un entier naturel n : elle fixe le nombre de facteurs à considérer lorsque n est positif.
Les facteurs sont les entiers successifs de n jusqu’à 1. Chacun dépend du précédent en diminuant d’une unité, sans saut ni répétition.
Le produit combine tous ces facteurs. Il fournit la sortie entière associée à n et permet le comptage d’ordres complets d’objets distincts.
Le point d’exclamation placé après n nomme cette opération : n! n’est ni une ponctuation ni une puissance. La disposition visuelle des facteurs ne change pas le produit.
La convention 0! = 1 traite l’entrée sans facteur positif. Elle est nécessaire pour que la relation entre deux factorielles consécutives reste cohérente dès 1! = 1 × 0!.
Un exemple, pas à pas
On veut ranger cinq livres distincts sur les cinq places d’une étagère.
Données :
• il y a 5 livres différents ;
• il y a 5 places ordonnées ;
• chaque livre est utilisé exactement une fois ;
• deux rangements qui diffèrent par une place comptent séparément.
Données :
• il y a 5 livres différents ;
• il y a 5 places ordonnées ;
• chaque livre est utilisé exactement une fois ;
• deux rangements qui diffèrent par une place comptent séparément.
1. Choisir le premier livre parmi les 5 disponibles.
2. Après ce choix, sélectionner le deuxième parmi les 4 livres restants.
3. Continuer avec 3 choix pour la troisième place, puis 2 pour la quatrième.
4. Le dernier livre fournit l’unique choix de la cinquième place.
5. Multiplier les nombres de choix : .
2. Après ce choix, sélectionner le deuxième parmi les 4 livres restants.
3. Continuer avec 3 choix pour la troisième place, puis 2 pour la quatrième.
4. Le dernier livre fournit l’unique choix de la cinquième place.
5. Multiplier les nombres de choix : .
Il existe donc 120 rangements. Pour contrôler le résultat, fixons un livre en première place : les quatre autres s’ordonnent de 4 × 3 × 2 × 1 = 24 façons. Les 5 choix du premier livre donnent bien 5 × 24 = 120. La chaîne des choix successifs rend visible pourquoi chaque facteur diminue d’une unité.
En pratique
Pour compter les classements complets de participants distincts sans ex æquo, on prend la factorielle de leur nombre. Si des égalités sont autorisées, chaque classement n’est plus une permutation simple et un autre modèle est nécessaire.
Pour attribuer seulement quelques places ordonnées parmi plusieurs candidats, on emploie un arrangement plutôt que la seule factorielle du nombre total. Le critère est observable : certains candidats ne figurent pas dans le résultat, mais la position des sélectionnés compte.
Pour former un groupe où l’ordre des membres ne change rien, on compte des combinaisons. La factorielle intervient encore dans la formule, mais elle corrige alors les ordres qui représenteraient le même groupe.
À ne pas confondre
Puissance. Une puissance répète le même facteur, tandis qu’une factorielle multiplie des entiers décroissants. Ainsi, 55 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3 125, alors que 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Double factorielle. La notation n!! conserve un entier sur deux dans la descente, au lieu de tous les conserver. Par exemple, 6!! = 6 × 4 × 2 = 48, tandis que 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.
Analyse factorielle. Cette expression désigne une famille de méthodes d’analyse de données, pas la fonction n!. Une recherche sur l’analyse factorielle des correspondances concerne donc une autre notion, même si les deux expressions partagent le mot « factorielle ».
Limites et pièges
Le cas charnière zéro. La liste des facteurs positifs est vide pour n = 0, mais 0! n’est ni nul ni indéfini : la convention fixe 0! = 1. Cette valeur maintient notamment 1! = 1 × 0!.
La récurrence a une condition. L’égalité n! = n × (n − 1)! s’emploie seulement pour un entier n au moins égal à 1. À n = 0, il faut revenir à la convention 0! = 1 plutôt que demander une factorielle d’indice négatif.
Une entrée non entière change de cadre. La fonction factorielle simple va de ℕ dans ℕ. Pour relier la notation à un réel ou à un complexe, il faut préciser le recours à la fonction gamma Γ ; on ne multiplie plus simplement les entiers de 1 à l’entrée.
Stirling donne un équivalent, pas une égalité. Pour de grandes valeurs positives de l’entier n, π désigne la constante pi et e la base de l’exponentielle dans . Cette formule décrit la croissance super-exponentielle ; pour un calcul exact comme 5!, il faut conserver le produit entier.
Pour aller plus loin
Le dénombrement replace la factorielle parmi les méthodes qui comptent exhaustivement des configurations sans oubli ni doublon.
L’arrangement montre comment adapter le produit décroissant lorsque seules quelques places ordonnées sont attribuées.
La formule de Stirling précise comment approcher n! et mesurer sa croissance lorsque n devient grand.
La fonction gamma prolonge la relation factorielle au-delà des seuls entiers naturels.
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