série de Stirling

La fonction Gamma prolonge la factorielle au-delà des entiers ; la formule de Stirling permet donc d’en approcher les valeurs lorsque la variable z est grande. Une expression principale donne d’abord l’ordre de grandeur, puis de petites corrections en 1/z, 1/z², 1/z³ et ainsi de suite affinent le résultat. La série de Stirling organise précisément ces corrections.

Une version agit directement sur Γ(z) ; l’autre travaille sur son logarithme. Les termes deviennent d’abord très petits, mais la suite complète ne converge pas au sens habituel : on utilise donc un nombre fini de corrections.

La série de Stirling est un développement asymptotique lié à la fonction Gamma. Pour une variable z dans un domaine où ce développement s’applique, une première représentation écrit Γ(z) comme un facteur principal multiplié par une série de corrections :

Pour n ≥ 1, le coefficient a_n du terme z⁻ⁿ est donné par $a_n={\sum }_{k=1}^{2n}\frac{(-1{)}^k{d}_3(2n+2k,k)}{2^{n+k}(n+k)!}a\_n=\backslash sum\_\{k=1\}^\{2n\}\backslash frac\{(-1)^k\; d\_3(2n+2k,k)\}\{2^\{n+k\}(n+k)!\}$, avec a₀ = 1. Les nombres d₃(p,k) sont ici les nombres de Stirling de première espèce 3-associés non signés ; ils comptent les permutations de p objets ayant k cycles, tous de longueur au moins 3, tandis que le facteur (−1)^k porte le signe. La représentation logarithmique, appelée à proprement parler série de Stirling, est $\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{2}\ln (2\pi )+(z-\frac{1}{2})\ln z-z+\frac{1}{12z}-\frac{1}{360z^3}+\frac{1}{1260z^5}-\cdots \backslash ln\backslash Gamma(z)=\backslash frac12\backslash ln(2\backslash pi)+(z-\backslash frac12)\backslash ln\; z-z+\backslash frac\{1\}\{12z\}-\backslash frac\{1\}\{360z^3\}+\backslash frac\{1\}\{1260z^5\}-\backslash cdots$. Les deux écritures sont asymptotiques et non convergentes au sens classique : elles décrivent une approximation par troncature, non une somme infinie convergente.

La représentation directe comporte quatre pièces. Le facteur e^−z z^z−1/2 √(2π) fournit la partie principale. La parenthèse commence par 1 et porte les corrections en puissances inverses de z. Les nombres rationnels 1/12, 1/288, −139/51840 et −571/2488320 règlent la taille et le signe des premiers termes. Enfin, les coefficients généraux a_n relient cette série aux nombres de Stirling d₃.

La version logarithmique transforme le produit principal en somme : une constante, deux termes dépendant de z, puis les corrections 1/(12z), −1/(360z³), 1/(1260z⁵), etc. Ainsi, la valeur de z détermine la taille de chaque correction, tandis que son exposant fixe la vitesse à laquelle elle décroît. Ces données suffisent à calculer une approximation tronquée de ln Γ(z), puis éventuellement de Γ(z).

Prenons z = 10 et la représentation logarithmique. Les données sont z, la constante π et les trois corrections affichées : 1/(12z), −1/(360z³) et 1/(1260z⁵).

1. La partie principale vaut $L_0=\frac{1}{2}\ln (2\pi )+(10-\frac{1}{2})\ln (10)-10\approx \mathrm{12,7934969166}L\_0=\backslash frac12\backslash ln(2\backslash pi)+(10-\backslash frac12)\backslash ln(10)-10\backslash approx12\{,\}7934969166$.

2. La première correction vaut 1/120 ≈ 0,0083333333. Elle donne L₁ ≈ 12,8018302500.

3. La correction suivante vaut −1/360 000 ≈ −0,0000027778. On obtient L₂ ≈ 12,8018274722.

4. La troisième correction vaut 1/126 000 000 ≈ 0,0000000079. La troncature donne alors ln Γ(10) ≈ 12,8018274801, puis Γ(10) ≈ 362 880,000021 par exponentiation.

Le contrôle se refait sans connaître Γ(10) : les valeurs absolues des corrections successives sont environ 8,33 × 10⁻³, 2,78 × 10⁻⁶ et 7,94 × 10⁻⁹. Chacune est bien plus petite que la précédente à cette étape de la troncature.

Pour obtenir directement une approximation de Γ(z), on part du facteur e^−z z^z−1/2 √(2π), puis on multiplie par un nombre fini de corrections. La représentation directe est le choix naturel lorsque la valeur de Γ(z) est le résultat recherché.

Lorsque le calcul porte déjà sur ln Γ(z), la forme logarithmique évite de développer le produit. Elle additionne la partie principale et les corrections impaires affichées ; on ne revient à Γ(z) par exponentiation que si cette valeur est nécessaire.

Pour choisir une troncature, on calcule les termes dans l’ordre et on surveille leur taille. Continuer mécaniquement jusqu’à l’infini n’est pas une option, puisque le développement n’est pas convergent au sens classique.

La série de Stirling et la fonction Gamma. La fonction Gamma est l’objet que l’on veut approcher ; la série de Stirling est une représentation asymptotique utilisée pour cette approximation. Dans Γ(10), Γ désigne la fonction, tandis que les termes en 1/10, 1/10³ et 1/10⁵ appartiennent au développement.

La série et les nombres de Stirling. Les nombres d₃(n,k) utilisés ici sont les nombres de Stirling de première espèce 3-associés non signés : ils comptent les permutations de n objets ayant k cycles, tous de longueur au moins 3. Le signe nécessaire à la formule des coefficients a_n est porté séparément par (−1)^k. Ainsi, pour a₁, le terme k = 2 porte sur d₃(6,2) = 40, et non sur d₃(4,2). Ces nombres combinatoires interviennent dans les coefficients, mais ne sont pas eux-mêmes le développement asymptotique de Γ(z). Le critère est donc le rôle joué : comptage combinatoire d’un côté, approximation analytique de l’autre.

Une série asymptotique n’est pas une série convergente. Le symbole « … » n’autorise pas à additionner indéfiniment les termes. Le symptôme du piège est l’idée que chaque nouveau terme doit toujours améliorer le résultat ; il faut au contraire choisir une troncature finie.

Le domaine ne doit pas disparaître. L’écriture décrit un comportement asymptotique de la variable z, et non une identité valable sans condition pour toute valeur de z. Dans le cas réel positif traité ici, on l’emploie pour z grand et l’on contrôle que les termes retenus décroissent. Pour un z complexe, il faut vérifier les conditions du développement asymptotique avant d’appliquer la formule.

Les deux suites de coefficients ne se mélangent pas. La forme directe contient notamment 1/(288z²), tandis que la forme logarithmique affichée passe de 1/(12z) à −1/(360z³). La présence d’un terme en z⁻² signale ici que l’on manipule la parenthèse multiplicative, pas la série de ln Γ(z).

La fonction gamma précise l’objet approché, tandis que le développement asymptotique éclaire le statut des troncatures.

La série asymptotique approfondit la différence avec une série convergente. Les nombres de Stirling développent le versant combinatoire des coefficients a_n.