développement asymptotique

Près de 0, la courbe de la fonction ln(1+x) ressemble d'abord à la droite de hauteur x. Pour x = 0,1, cette première approximation donne 0,1, tandis que la valeur réelle vaut environ 0,09531.

On affine alors le résultat par petites corrections : on retranche x²/2, puis on ajoute x³/3. Chaque correction devient négligeable devant la précédente lorsque x se rapproche de 0. Un développement asymptotique organise ainsi les corrections de la plus importante à la plus discrète, puis s'arrête à l'ordre utile.

Soit une fonction f étudiée lorsque la variable x tend vers un point fini ou vers l'infini. Une échelle asymptotique est une suite finie de fonctions de référence φ₀, φ₁, …, φ_n, chacune non nulle dans un voisinage épointé approprié de la limite et devenant négligeable devant la précédente dans le voisinage choisi. Autrement dit, pour chaque indice k inférieur à n, le quotient φ_k+1(x)/φ_k(x) tend vers 0.

Les nombres a₀, …, a_n sont les coefficients du développement. Dire que f possède ce développement jusqu'au terme d'indice n signifie que le reste après soustraction de la somme est négligeable devant le dernier terme retenu :

Cette relation dépend du voisinage et du sens de la limite. Comme la somme retenue est finie, sa convergence n'est pas en jeu. Pour ln(1+x) lorsque x tend vers 0, les puissances 1, x, x², x³, … forment l'échelle usuelle. Une « série asymptotique » prolonge formellement la liste à une infinité de termes ; elle peut diverger tout en donnant d'excellentes approximations après une troncature bien choisie. Henri Poincaré a introduit cette notion en étudiant le problème à N corps en mécanique céleste par la méthode des perturbations.

On cherche une valeur approchée de ln(1+x) pour x = 0,1. Les données sont x = 0,1 et le développement, lorsque x tend vers 0, avec un reste négligeable devant x³ :

1. Au premier ordre, on conserve x. La première troncature vaut donc S₁ = 0,1.

2. Au deuxième ordre, on retranche 0,1²/2 = 0,005. On obtient S₂ = 0,095.

3. Au troisième ordre, on ajoute 0,1³/3 = 0,000333… On obtient S₃ = 0,095333…, soit 0,09533 à cinq décimales.

La valeur de contrôle donnée par un calcul direct est ln(1,1) ≈ 0,09531018. L'erreur absolue passe d'environ 0,00468982 avec S₁, à 0,00031018 avec S₂, puis à 0,00002315 avec S₃. La comparaison graphique annoncée par ces valeurs montre que la troisième troncature est la plus proche des trois.

Pour estimer rapidement une fonction près du point étudié, on choisit l'ordre qui correspond à la précision voulue. Dans l'exemple à x = 0,1, le troisième ordre est préférable au premier pour affiner l'approximation, mais il faut au moins l'ordre quatre pour obtenir cinq décimales correctes ; le premier suffit pour un simple ordre de grandeur.

Pour comparer deux expressions lorsque x s'approche d'une limite, on commence par leur terme dominant. Si celui-ci ne distingue pas les comportements recherchés, on conserve la première correction qui les sépare.

Dans une méthode de perturbations, on calcule successivement des corrections ordonnées par taille. Une évaluation numérique directe reste préférable lorsque x n'est plus assez proche du point de référence ou lorsque les termes cessent de diminuer.

Un équivalent. Écrire f(x) ∼ g(x) signifie que le quotient f(x)/g(x) tend vers 1. Cela ne fournit que le comportement dominant. Un développement asymptotique ajoute des corrections successives et contrôle le reste après le dernier terme.

Un développement limité. Il utilise, près d'un point fini, des puissances de l'écart à ce point et un reste contrôlé. C'est un cas particulier de développement asymptotique ; une échelle asymptotique peut employer d'autres fonctions de référence, notamment à l'infini.

Une série convergente. Une série convergente vise une somme obtenue en faisant tendre le nombre de termes vers l'infini. Un développement asymptotique d'ordre fixé est une somme finie : sa qualité se juge quand x approche la limite, pas quand le nombre de termes augmente.

Le symbole ∼ ne suffit pas pour toute la somme. Une équivalence avec une somme contrôle seulement une erreur relative globale, souvent dominée par le premier terme. Pour certifier plusieurs ordres, il faut vérifier que le reste après la troncature est négligeable devant le dernier terme retenu.

L'échelle porte sur les fonctions de référence. Si un coefficient est nul, le terme correspondant disparaît ; on ne doit donc pas tester l'ordre sur les seuls termes a_kφ_k. On vérifie plutôt φ_k+1 = o(φ_k) dans le voisinage considéré.

Ajouter des termes n'améliore pas toujours l'approximation. Dans une série asymptotique divergente, les termes finissent généralement par croître pour une valeur fixée de x. Le signal d'arrêt est le plus petit terme atteint ; au-delà, il faut tronquer plutôt que poursuivre la somme.

Le voisinage doit être précisé. Un développement lorsque x tend vers 0 par valeurs positives peut différer de celui obtenu par valeurs négatives, voire ne pas y exister. Il faut annoncer le point, le côté éventuel et le domaine avant d'utiliser les coefficients.

Série asymptotique — Pour approfondir le prolongement formel à une infinité de termes et le rôle d'une troncature optimale.

Développements limités — Pour étudier le cas fondé sur les puissances de l'écart à un point fini.

Formule de Taylor — Pour relier les coefficients en puissances aux dérivées d'une fonction suffisamment régulière.