AnalyseNotion · Glossaire
Développements limités
Un développement limité d'une fonction f au voisinage d'un point a à l'ordre n est l'écriture de f(a+h) comme polynôme en h de degré au plus n plus un reste négligeable devant h^n. Sous les hypothèses de régularité de la formule de Taylor-Young, les coefficients sont les dérivées successives de f en a divisées par les factorielles correspondantes. Les développements limités permettent d'effectuer des calculs asymptotiques, de calculer des limites indéterminées, et d'étudier le comportement local d'une fonction. Dans ce cadre, l'ordre 1 donne la tangente et l'ordre 2 la parabole osculatrice.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le polynôme et le reste négligeable d'un développement limité.
- Construire à l'ordre 2 le développement de l'exponentielle en 0.
- Calculer pas à pas une limite indéterminée par annulation des premiers termes.
- Distinguer développement limité, équivalent et série de Taylor.
En clair
Zoomez sur la courbe de la fonction exponentielle autour de 0. Tout près de ce point, la courbe ressemble d'abord à sa tangente, puis plus finement à une parabole. Le développement limité remplace ainsi, localement, une fonction parfois difficile à manipuler par un polynôme plus simple.
L'ordre indique jusqu'à quelle puissance on conserve l'approximation. Le reste n'est pas déclaré nul : il devient seulement négligeable devant la dernière puissance retenue lorsque l'on se rapproche du point étudié.
Définition
Soit une fonction f définie au voisinage d'un réel a. On dit qu'elle admet un développement limité à l'ordre n en a s'il existe des coefficients réels a0, a1, …, an tels que, lorsque l'accroissement h tend vers 0 :
La notation o(hn) désigne un reste qui, divisé par hn, tend vers 0. Le polynôme est la partie régulière du développement. Si f est n fois dérivable en a dans les conditions de la formule de Taylor-Young, ses coefficients se calculent avec les dérivées successives : . On obtient alors . À l'ordre 1, la partie régulière décrit la tangente ; à l'ordre 2, elle ajoute le terme quadratique associé à la parabole osculatrice.
Un exemple, pas à pas
On cherche la limite en 0 de . La donnée utile est que la fonction exponentielle vaut 1 en 0 et que toutes ses dérivées valent encore 1 en ce point. On travaille à l'ordre 2, car le dénominateur contient x2.
1. La formule de Taylor-Young donne :
2. En soustrayant 1 puis x, le numérateur devient .
3. Pour x non nul, on divise chaque terme par x2 :
Le résultat est donc . Le contrôle consiste à vérifier que les termes constant et linéaire s'annulent bien et que le premier terme restant a exactement le même degré que le dénominateur.
En pratique
Pour lever une forme indéterminée, on développe le numérateur et le dénominateur jusqu'au premier terme qui ne s'annule pas. Dans l'exemple de l'exponentielle, l'ordre 1 serait insuffisant ; l'ordre 2 fait apparaître le coefficient 1/2.
Pour comparer deux fonctions près d'un point, on repère leur premier terme non nul. Un équivalent suffit si seule la taille dominante importe ; un développement limité est préférable lorsqu'une soustraction annule ce terme et oblige à conserver le suivant.
Pour décrire localement une courbe, l'ordre 1 fournit la tangente. Lorsque la courbure compte, l'ordre 2 ajoute une approximation parabolique. La représentation associée montre que la parabole épouse la courbe de l'exponentielle près de 0, puis s'en écarte lorsque la distance à 0 augmente.
À ne pas confondre
Développement limité et équivalent. Un équivalent ne conserve que le comportement dominant, tandis qu'un développement limité garde plusieurs puissances et un reste calibré. Pour , écrire seulement ne permet pas de traiter la soustraction ; l'ordre 2 le permet.
Développement limité et série de Taylor. Le développement limité porte sur un ordre fini et un voisinage d'un point. Une série de Taylor est une somme infinie, dont la convergence vers la fonction demande une étude supplémentaire. Le développement de l'exponentielle à l'ordre 2 reste valable sans sommer toute sa série.
Formules de Taylor-Young et de Taylor-Lagrange. Taylor-Young exprime le reste sous la forme o(hn), adaptée au comportement asymptotique. Taylor-Lagrange fournit, sous ses propres hypothèses, une expression ou une majoration du reste utile pour contrôler une erreur sur un intervalle.
Limites et pièges
Une information locale. Un développement en 0 décrit ce qui se passe lorsque la variable tend vers 0, pas sur tout l'axe réel. L'écart visible entre l'exponentielle et son polynôme d'ordre 2 augmente loin de 0 ; il faut alors changer de voisinage ou augmenter l'ordre avec un contrôle adapté du reste.
Un ordre trop court. Dans un quotient, les premiers termes peuvent s'annuler. Si le dénominateur est d'ordre 2, comme dans l'exemple, s'arrêter à l'ordre 1 masque le premier terme utile. Il faut poursuivre jusqu'à un ordre compatible avec les annulations observées.
Un reste à manipuler avec ses conditions. Les additions et multiplications de développements sont possibles en ramenant les restes au même ordre. Pour une division, le terme constant du dénominateur doit être non nul après la mise en facteur appropriée ; sinon, on isole d'abord sa puissance dominante.
Des dérivées qui ne sont pas automatiques. La formule des coefficients par les dérivées relève de Taylor-Young et exige la régularité correspondante. La définition générale d'un développement limité est l'existence d'un polynôme accompagné d'un reste o(hn) ; elle ne doit pas servir à supposer sans preuve toutes les dérivées de la fonction.
Pour aller plus loin
L'article Les équivalents, un outil pour le calcul des limites montre quand le seul terme dominant suffit et comment l'utiliser dans un quotient.
La fiche développement en série de Taylor prolonge le passage d'un polynôme fini à une somme infinie et pose la question de la convergence.
La fiche fonction exponentielle approfondit la fonction utilisée dans l'exemple conducteur et ses propriétés caractéristiques.
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