AnalyseFormule · Glossaire
formule de Taylor-Young
Variante de la formule de Taylor dans laquelle le reste est exprimé sous forme d'un petit o. Soit E un espace vectoriel de dimension finie, I un intervalle de ℝ, f une fonction définie sur I à valeurs dans E, a un point intérieur à I et n un entier naturel non nul tel que la dérivée d'ordre n existe en a. La formule de Taylor-Young affirme qu’il existe une fonction ε définie au voisinage de a et à valeurs dans E telle que, pour x suffisamment proche de a : f(x) = ∑(k=0 à n) f^(k)(a) · (x−a)^k / k! + ε(x) · (x−a)ⁿ, avec lim(x→a) ‖ε(x)‖ = 0. Cette formulation est particulièrement adaptée à l'étude du comportement local d'une fonction au voisinage d'un point, notamment pour déterminer des équivalents, étudier les extrema ou analyser la concavité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire chaque terme de la formule et le rôle du reste en petit o.
- Construire l’approximation d’ordre 2 de l’exponentielle en 0.
- Reconnaître quand l’énoncé est applicable et quand il ne suffit pas.
- Distinguer une approximation locale d’une égalité globale ou d’un simple équivalent.
En clair
Lorsque la variable x reste proche de 0, la courbe de l’exponentielle ressemble de très près à celle du polynôme 1 + x + x2/2. La formule de Taylor-Young transforme cette ressemblance en affirmation précise. Elle remplace localement une fonction par un polynôme construit avec ses dérivées au point étudié.
L’écart n’est pas déclaré nul. Il devient simplement négligeable devant la dernière puissance conservée lorsque x se rapproche du point. Le « petit o » exprime exactement cette perte d’importance relative.
Définition
La formule de Taylor-Young est une écriture locale d’une fonction à l’aide d’un polynôme et d’un reste asymptotiquement négligeable. Soit I un intervalle de ℝ, E un espace vectoriel de dimension finie, f une fonction de I dans E, a un point intérieur à I et n un entier naturel non nul. Lorsque la dérivée d’ordre n de f existe en a, les valeurs successives de f et de ses dérivées en a fournissent les coefficients du polynôme.
Quand la variable x tend vers a, la relation s’écrit : , où le reste vectoriel rn vérifie . Ici, k numérote les dérivées, f(k)(a) est la dérivée d’ordre k évaluée en a et k! est la factorielle de k.
Cette égalité décrit le comportement de f au voisinage de a, et non sur tout l’intervalle avec une précision uniforme. Elle fournit notamment un développement limité dont les premiers termes non nuls peuvent servir à obtenir un équivalent ou à examiner un extremum.
Le principe
Soit n un entier naturel non nul. Si la fonction f, définie sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans un espace vectoriel E de dimension finie, admet une dérivée d’ordre n en un point a intérieur à I, alors, lorsque x tend vers a :
La fonction ε est définie au voisinage de a et à valeurs dans E. Le terme ε(x)(x − a)n est le reste. Pour x ≠ a, le quotient de la norme de ce reste par |x − a|n est ‖ε(x)‖ et tend donc vers 0 lorsque x tend vers a.
Quand l'utiliser
La formule s’applique localement à un point a intérieur à un intervalle réel I. La fonction f peut être réelle ou prendre ses valeurs dans un espace vectoriel E de dimension finie. Pour appliquer la formule sous cette forme à un ordre n ≥ 1, il suffit que la dérivée d’ordre n existe en a ; les dérivées d’ordres inférieurs qui figurent dans le polynôme sont alors disponibles. Une expansion asymptotique peut toutefois parfois être établie par d’autres hypothèses, sans dérivée n-ième en a.
Trois vérifications sont décisives : le point a est intérieur à l’intervalle I, l’ordre choisi correspond à une dérivée existante en a, et la question concerne la limite lorsque x tend vers a. Si, par exemple, la dérivée d’ordre 2 n’existe pas en a, on ne peut pas invoquer cette formule avec le coefficient f(2)(a)/2. Une expansion d’ordre 2 peut néanmoins parfois être établie autrement ; sinon, on se limite à un ordre justifié ou l’on étudie directement la fonction.
Un exemple, pas à pas
On étudie la fonction exponentielle f(x) = ex près du point a = 0, à l’ordre n = 2. Les données sont f(0) = 1, f′(0) = 1 et f″(0) = 1.
1. Construire le polynôme. Les trois valeurs donnent : .
2. Écrire le reste. La formule affirme : . Le graphe des deux fonctions rend visible leur contact très serré autour de 0.
3. Tester une valeur. Pour x = 0,1, le polynôme vaut 1,105, tandis que e0,1 vaut environ 1,105171. L’erreur est donc voisine de 0,000171.
4. Contrôler l’échelle du reste. Le quotient erreur/x2 vaut environ 0,0170 pour x = 0,1. Pour x = 0,01, il vaut environ 0,00167. Sa diminution quand x se rapproche de 0 illustre la limite nulle exigée par le petit o ; ces deux valeurs constituent un contrôle numérique, pas une preuve.
En pratique
Pour estimer rapidement une valeur près de a, on calcule le polynôme avec les dérivées connues. Dans l’exemple, 1 + x + x2/2 remplace ex près de 0. Si x n’est plus proche de 0, un calcul numérique direct ou un développement autour d’un autre point est préférable.
Pour chercher un équivalent, on repère le premier terme non nul du développement après les simplifications nécessaires. Ce terme décrit alors l’échelle dominante ; conserver tout le polynôme reste utile lorsqu’une approximation plus fine est demandée.
Pour étudier un extremum, on examine le signe du premier terme qui décide effectivement du comportement local. La concavité ne se déduit pas de ce seul signe : elle exige d’étudier le signe de la dérivée seconde sous des hypothèses assurant son existence, ou de disposer d’un développement asymptotique établi séparément pour cette dérivée. Si tous les coefficients disponibles s’annulent, l’ordre choisi ne tranche pas : il faut poursuivre le développement ou employer une autre méthode.
À ne pas confondre
Formule de Taylor avec un reste explicite. Taylor-Young caractérise le reste par une limite en petit o. Une formule qui évalue ou majore autrement ce reste répond à une autre question. Pour les distinguer, regardez si l’énoncé cherche une information locale asymptotique ou une erreur contrôlée pour une valeur donnée.
Équivalent d’une fonction. Un équivalent retient seulement un terme dominant, tandis que Taylor-Young conserve tous les termes du polynôme jusqu’à l’ordre choisi. Ainsi, près de 0, ex est équivalent à 1, mais l’approximation 1 + x + x2/2 fournit davantage d’information.
Limites et pièges
L’ordre n fixe la précision asymptotique, pas une distance d’utilisation. Aucun rayon chiffré autour de a n’est fourni par la notation en petit o. Si une erreur maximale est exigée à une valeur précise, il faut une estimation quantitative du reste.
Au point x = a, le quotient du reste par (x − a)n n’est pas à calculer. Il prend la forme 0/0. C’est sa limite lorsque x approche a qui vaut 0 ; la valeur attribuée à ε(a) est sans effet sur la formule.
Un développement tronqué peut ne rien décider. Si les premiers coefficients pertinents sont nuls, l’ordre atteint ne suffit pas pour conclure sur un extremum ou une concavité. Le symptôme est l’absence de premier terme de signe déterminant ; il faut augmenter l’ordre ou changer d’outil.
La proximité visuelle n’est pas la propriété mathématique. Deux courbes presque confondues sur un dessin ne prouvent pas un reste en petit o. Il faut vérifier que le quotient du reste par (x − a)n tend vers 0.
Pour aller plus loin
formule de Taylor — Situez Taylor-Young parmi les écritures qui relient une fonction à ses dérivées.
Petit O — Approfondissez la comparaison asymptotique qui donne au reste son sens précis.
Développements limités — Replacez le polynôme local et son reste dans le cadre général des développements limités.
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