AnalyseFormule · Glossaire
formule de Taylor-Lagrange
Variante de la formule de Taylor dans laquelle, pour une fonction réelle, le reste est explicité à l'aide d'une dérivée d'ordre n+1 évaluée en un point intermédiaire. Soient a et x deux points distincts d'un intervalle I et n un entier positif. Si f est n fois continûment dérivable sur le segment reliant a à x et n + 1 fois dérivable à l'intérieur, alors
pour un certain ξ strictement compris entre a et x. Lorsque x = a, le reste est nul et aucun point ξ n'intervient. Pour une fonction à valeurs dans un espace vectoriel normé E de dimension finie, l'existence d'un même ξ n'est pas garantie en général ; si f est n + 1 fois continûment dérivable sur le segment et si ‖‖ ≤ M en tout point t de ce segment, la forme intégrale du reste donne ‖R_n(x)‖ ≤ M · |x−a|^(n+1) / (n+1)!. Cette inégalité permet de contrôler quantitativement l'erreur commise en tronquant le développement au rang n.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses de la formule et le rôle du point intermédiaire.
- Calculer une borne d'erreur à partir d'une majoration de la dérivée suivante.
- Distinguer Taylor-Lagrange de Taylor-Young, du reste intégral et d'une série de Taylor.
En clair
Pour estimer sin(1) sans calculatrice, on peut remplacer un petit morceau de la courbe du sinus par une droite plus simple. Au voisinage de 0, cette droite donne sin(1) ≈ 1. La formule de Taylor-Lagrange ne se contente pas de proposer cette valeur : elle encadre l'écart. Ici, l'erreur est inférieure ou égale à 1/6. Elle transforme donc une approximation en résultat contrôlé, à condition de connaître les dérivées de la fonction.
Définition
La formule de Taylor-Lagrange décompose la valeur d'une fonction réelle en un polynôme de Taylor et un reste explicite. On considère une fonction réelle f sur un intervalle I, deux points a et x de cet intervalle, et un entier n positif. On suppose f n fois continûment dérivable sur le segment reliant a à x et n + 1 fois dérivable aux points intérieurs. Les dérivées de f jusqu'à l'ordre n fournissent le polynôme. Le théorème affirme alors qu'il existe un point intermédiaire, noté ξ, strictement situé entre a et x lorsque ces points sont distincts.
Le point ξ n'est généralement pas connu. Si la valeur absolue de la dérivée d'ordre n + 1 ne dépasse pas une constante M entre a et x, sa seule borne suffit : . On obtient ainsi un intervalle garanti autour de l'approximation polynomiale.
Le principe
Soient a et x deux points distincts d'un intervalle I, et n un entier positif. Si la fonction réelle f est n fois continûment dérivable sur le segment reliant a à x et admet une dérivée d'ordre n + 1 à l'intérieur, alors il existe un point ξ entre a et x tel que :
Si la valeur absolue de cette dernière dérivée est au plus M en tout point intérieur du segment, l'erreur de troncature est au plus .
Quand l'utiliser
La formule s'applique sur le segment fermé reliant les deux réels a et x. Savoir seulement calculer les dérivées jusqu'à l'ordre n au point a et disposer ponctuellement d'une dérivée d'ordre n + 1 ne suffit pas. Une hypothèse classique, simple à vérifier, demande que f soit n fois continûment dérivable sur le segment et n + 1 fois dérivable à l'intérieur. Pour obtenir une borne numérique, il faut en plus majorer la valeur absolue de la dernière dérivée en tout point intérieur du segment.
La fonction valeur absolue au voisinage de 0 fournit un contre-cas : elle n'y est pas dérivable. On ne peut donc pas y appliquer Taylor-Lagrange, même si son graphe paraît simple ; il faut raisonner séparément de chaque côté de 0.
Un exemple, pas à pas
On veut approcher sin(1), où l'angle 1 est exprimé en radians. Les données sont la fonction f définie par f(x) = sin x, le centre a = 0, l'ordre n = 2 et le point x = 1. Une figure comparant la courbe et son approximation rend visible l'écart que le calcul va borner.
1. Au point 0, les valeurs utiles sont f(0) = 0, f'(0) = 1 et f''(0) = 0. Le polynôme d'ordre 2 est donc .
2. La dérivée d'ordre 3 vaut f'''(t) = −cos t pour tout point t du segment [0, 1]. Sa valeur absolue ne dépasse jamais 1 ; on choisit donc M = 1.
3. La majoration de Lagrange donne .
4. On conclut que sin(1) appartient à l'intervalle [5/6 ; 7/6]. L'approximation annoncée est sin(1) ≈ 1, avec une erreur garantie d'au plus 1/6.
Le contrôle direct donne sin(1) ≈ 0,841471, donc une erreur d'environ 0,158529. Elle est bien inférieure à 0,166667, comme l'exige la borne.
En pratique
Pour choisir l'ordre d'une approximation, on majore d'abord la dérivée suivante, puis on augmente n jusqu'à ce que la borne du reste passe sous la tolérance voulue. Si cette majoration est difficile, un encadrement direct de la fonction peut être plus efficace.
Pour certifier une valeur numérique, on ajoute et on retranche la borne d'erreur à la valeur du polynôme. Une calculatrice donne souvent davantage de décimales, mais Taylor-Lagrange est préférable lorsque l'on exige une garantie démontrée.
Pour établir une inégalité locale, le signe du reste peut aussi être exploité lorsque celui de la dérivée d'ordre n + 1 est constant. Si ce signe varie sur le segment, seule la majoration en valeur absolue reste immédiatement sûre.
À ne pas confondre
La formule de Taylor-Young. Son reste est décrit relativement à une puissance quand x tend vers a, sans point intermédiaire à trouver. Pour une limite locale, Taylor-Young suffit souvent ; pour une borne explicite sur un segment, Taylor-Lagrange est adaptée.
La formule de Taylor avec reste intégral. Elle exprime l'erreur par une intégrale de la dérivée suivante. Si le calcul demande la valeur du reste plutôt qu'une simple borne, cette forme peut fournir davantage d'information.
La série de Taylor. Une formule de Taylor à l'ordre n est une identité finie avec reste. Une série suppose en plus que le reste tende vers zéro quand n augmente ; l'existence de toutes les dérivées ne garantit pas à elle seule cette convergence.
Limites et pièges
Valeurs vectorielles. L'écriture classique avec une même valeur intermédiaire ξ n'est pas valable en général pour une fonction à valeurs dans un espace vectoriel, même de dimension finie. On emploie plutôt une forme intégrale du reste ou une majoration en norme sous des hypothèses adaptées.
Point confondu avec le centre. Lorsque x = a, le reste vaut exactement 0. Il n'existe alors aucun point strictement compris entre a et x ; l'égalité se lit directement, sans introduire ξ.
Point intermédiaire inconnu. Le théorème garantit l'existence de ξ, mais ne fournit généralement pas sa valeur. Remplacer arbitrairement f(n+1)(ξ) par f(n+1)(a) fausse le reste ; il faut majorer la dérivée sur tout le segment.
Borne trop large. Une constante M correcte mais grossière donne une garantie faible. Dans l'exemple, la borne 1/6 ≈ 0,166667 est supérieure à l'erreur réelle 0,158529 ; cela ne contredit pas le théorème. Il faut resserrer M ou augmenter l'ordre si l'intervalle obtenu est inutilisable.
Pour aller plus loin
formule de Taylor-Young — Pour comparer une erreur asymptotique au voisinage du centre avec la borne explicite de Lagrange.
Développements limités — Pour replacer le polynôme de Taylor dans le calcul local des limites et des équivalents.
développement en série de Taylor — Pour examiner quand les approximations finies convergent effectivement vers la fonction lorsque l'ordre augmente.
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