AnalyseObjet mathématique · Glossaire
développement en série de Lagrange
Le développement en série de Lagrange, ou formule d'inversion de Lagrange, donne les coefficients de la série de la fonction inverse définie implicitement par une relation analytique. Si une fonction analytique f vérifie f'(z₀)≠0, son inverse local possède un développement dont les coefficients se calculent à partir des dérivées de puissances d'une expression construite avec f. Une forme classique traite l'équation w=zφ(w). Cette méthode est une réversion de série et ne doit pas être confondue avec la formule de Taylor avec reste de Lagrange.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir l'inversion locale d'une relation analytique.
- Lire la formule calculable des coefficients dans la forme w=zφ(w).
- Refaire le calcul des quatre premiers coefficients sur un exemple exact.
- Distinguer cette réversion du reste de Taylor-Lagrange et repérer les limites de convergence.
En clair
Imaginez une relation qui donne z à partir de w, mais dont on ne sait pas isoler w par des opérations élémentaires. Près d'un point où la pente ne s'annule pas, la fonction inverse existe et peut se lire comme une série de puissances de z. La formule d'inversion de Lagrange fournit directement chaque coefficient, sans devoir trouver toute l'inverse d'un seul coup. Elle transforme donc une inversion implicite en calculs de dérivées. Le mot « série » désigne ici une somme de puissances, et non le reste de Taylor-Lagrange.
Définition
La formule d'inversion de Lagrange concerne le développement local de la fonction inverse d'une fonction analytique. Si f est analytique au voisinage de z₀ et si sa dérivée f'(z₀) est non nulle, le théorème d'inversion locale fournit une inverse définie au voisinage du point considéré. Cette inverse admet alors une série convergente au voisinage du point considéré.
Dans la forme classique, on cherche w comme fonction de z à partir de , où φ est analytique et φ(0)≠0. Pour une fonction analytique F, le coefficient de zn dans F(w(z)), pour n≥1, vaut
Le symbole [zn] désigne le coefficient de zn, et [un−1] celui de un−1. En prenant F(u)=u, on obtient directement le coefficient de w(z). La condition φ(0)≠0 garantit que l'équation possède la branche locale attendue autour de z=0.
De quoi c'est fait
Une réversion de série repose sur cinq éléments liés. La variable z est la petite variable dans laquelle on veut développer la solution. La variable w est l'inconnue définie implicitement par la relation. La fonction φ décrit la dépendance de w dans l'équation . La fonction F indique éventuellement quelle expression de w on développe. Enfin, l'extraction [zn] sélectionne le coefficient recherché.
Ces éléments ne jouent pas des rôles interchangeables : φ fixe la branche locale de w, tandis que F transforme cette branche avant l'extraction. La dérivée F'(u) et la puissance φ(u)n apparaissent ensemble dans la formule, puis le coefficient de un−1 fournit le résultat d'ordre n. Pour F(u)=u, la structure suffit à construire les coefficients de w lui-même.
Un exemple, pas à pas
Prenons l'équation . On veut retrouver les premiers termes de w(z), en choisissant F(u)=u. Les données sont : φ(u)=1+u, F'(u)=1 et n=1, 2, 3, 4.
La formule donne, pour chaque n, le coefficient cn de zn dans w(z) :
Pour n=1, c₁=[u⁰](1+u)=1. Pour n=2, c₂=(1/2)[u¹](1+u)²=1. Pour n=3, c₃=(1/3)[u²](1+u)³=1. Pour n=4, c₄=(1/4)[u³](1+u)⁴=1.
On obtient donc w(z)=z+z²+z³+z⁴+… près de zéro. Le contrôle est direct : l'équation se réécrit w(1−z)=z, donc w=z/(1−z), dont la série géométrique confirme tous ces coefficients.
En pratique
La formule est utile lorsqu'une équation définit une quantité par récurrence ou implicitement, mais qu'une inversion exacte complète serait encombrante. On choisit d'abord la variable locale et la branche correspondant au point où la dérivée est non nulle.
Pour calculer quelques termes, on met l'équation sous la forme w=zφ(w), on choisit F selon la quantité voulue, puis on extrait un coefficient de F'(u)φ(u)n. Cette extraction peut se faire par développement algébrique ou avec un logiciel de calcul formel.
Si l'on connaît déjà une expression simple de l'inverse, comme z/(1−z) dans l'exemple, le développement direct est préférable. La formule de Lagrange devient intéressante quand la relation implicite est plus facile à manipuler que son inverse.
À ne pas confondre
Le développement en série de Lagrange ne désigne pas le développement de Taylor avec reste de Lagrange. Le premier inverse localement une relation et calcule des coefficients de série ; le second approxime une fonction par un polynôme et contrôle l'erreur restante. Le test qui tranche est le but du calcul : résoudre une relation pour une variable indique l'inversion, tandis qu'estimer l'écart à un polynôme indique le reste de Taylor-Lagrange.
Il ne faut pas non plus confondre la formule avec une simple substitution dans une série connue. La substitution suppose que l'inverse ou ses termes sont déjà disponibles ; l'inversion de Lagrange les obtient à partir de la relation implicite et de φ.
Limites et pièges
La condition de dérivée non nulle est locale et décisive. Si f'(z₀)=0, l'inversion locale ordinaire ne s'applique pas : l'inverse peut ne pas être analytique en puissances entières, ou plusieurs branches peuvent se rencontrer. Il faut alors examiner séparément la singularité, un changement de variable ou une série en puissances fractionnaires.
Dans la forme w=zφ(w), la condition φ(0)≠0 ne suffit pas à garantir une convergence jusqu'à toute valeur de z. La série vaut dans son domaine de convergence, généralement limité par la singularité la plus proche de la branche choisie. Dans l'exemple w=z/(1−z), le point z=1 est le seuil visible : la série géométrique converge pour |z|<1, et non pour z=1.
Enfin, le coefficient d'ordre n se calcule avec n≥1. Le terme constant dépend du point autour duquel la branche est développée et ne doit pas être fabriqué par la formule sans vérifier le changement de coordonnées.
Pour aller plus loin
Pour replacer cette technique dans son cadre, la fiche « série entière » présente les sommes de puissances et leur domaine de convergence, ce qui aide à interpréter la série obtenue par inversion.
La fiche « fonction inverse » rappelle le rôle de l'inversibilité locale et de la dérivée non nulle. Elle permet de relier la construction par série à la question plus générale de l'existence d'une inverse près d'un point.
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